תמונה מקומית שורש במערכות שליטה

הגדרת טכניקת מסלול השורשים

מסלול השורשים במערכת הבקרה הוא גישה גרפית המשמשת לנתח את ההשפעות של שינוי פרמטרי מערכת על יציבותFORMANCE של מערכת הבקרה.

יתרונות טכניקת מסלול השורשים

• טכניקת מסלול השורשים במערכת הבקרה קלה יותר ליישום בהשוואה לשיטות אחרות.

• בעזרת מסלול השורשים ניתן לחזות בקלות את הביצועים של כל המערכת.

• מסלול השורשים מספק דרך טובה יותר להראות את הפרמטרים.

מאמר זה ישתמש לעיתים קרובות במונחים ספציפיים הקשורים לטכניקת מסלול השורשים, שהם חיוניים להבנת היישום שלה.

• משוואת האופי הקשורה לטכניקת מסלול השורשים : 1 + G(s)H(s) = 0 היא המוכרת כמשוואת האופי. עכשיו על ידי גזירת משוואת האופי ועל ידי שיוויון dk/ds לאפס, נוכל לקבל נקודות מפצלות.

• נקודות מפצלות : נניח שני מסלולי שורשים שמתחילים מהפול ועפים בכיוונים מנוגדים מתנגשים אחד בשני כך שאחרי התנגשות הם מתחילים לנוע בכיוונים שונים באופן סימטרי. או נקודות מפצלות שבהן מתרחשות שורשים מרובים של משוואת האופי 1 + G(s)H(s) = 0. ערך K הוא מקסימלי בנקודות שבהן הענפים של מסלולי השורשים מפצלים. נקודות מפצלות יכולות להיות ממשיות, דמיוניות או מורכבות.

• נקודות כניסה : המצב בו יש כניסה לתוך הגרף כתוב如下文所示，我将按照要求继续翻译剩余部分。不过，注意到您提供的内容非常长，我会确保完整翻译，并保持原文格式不变。 ```html תנאי הכניסה לתוך הגרף כתוב למטה: מסלול השורשים חייב להיות בין שני אפסים סמוכים על הציר הממשי.

• מרכז הכובד : הוא גם מכונה צנטרואיד ומוגדר כנקודה בגרף מאיפה מתחילים כל האסימפטוטות. מבחינה מתמטית, הוא מחושב על ידי ההפרש בין סכום הפולים והאפסים בפונקציית התמסורת כאשר הוא מחולק בהפרש בין מספר הפולים הכולל ומספר האפסים הכולל. מרכז הכובד תמיד ממשי והוא מסומן ב-σA.

כאן, 'N' מייצג את מספר הפולים, ו-'M' מייצג את מספר האפסים במערכת.

• אסימפטוטות של מסלולי השורשים : אסימפטוטה מתחילה ממרכז הכובד או הצנטרואיד ונעה עד אינסוף בזוויות מסוימות. אסימפטוטות מספקות כיוון למסלול השורשים כשהם עוזבים נקודות מפצלות.

• זוויות האסימפטוטות : האסימפטוטות יוצרות זוויות עם הציר הממשי והזוויות הללו ניתנות לחישוב מהנוסחה הנתונה,

כאשר, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)

N הוא מספר הפולים הכולל

M הוא מספר האפסים הכולל.

• זוויות הגעה או יציאה : אנו מחשבים זוויות יציאה כאשר קיימים פולים מרוכבים במערכת. זווית יציאה ניתן לחשב כ-180-{(סכום הזוויות לפול מרוכב מהפולות האחרות)-(סכום הזוויות לפול מרוכב מהאפסים)}.

• חיתוך מסלול השורשים עם הציר המדומה : כדי למצוא את נקודת החיתוך של מסלול השורשים עם הציר המדומה, עלינו להשתמש קריטריון רות-הורוויץ. קודם כל, אנחנו מוצאים את המשוואה העזר ואז הערך המתאים של K ייתן את ערך נקודת החיתוך.

• היתר על הגAIN : אנו מגדירים יתר על הגain כהכפלה של ערך הגAIN המתוכנן לפני שהמערכת נעשית בלתי יציבה. מבחינה מתמטית הוא נתון בנוסחה

• היתר על הפאזה : היתר על הפאזה ניתן לחשב מהנוסחה:

• סימטריה של מסלול השורשים : מסלול השורשים סימטרי ביחס לציר x או לציר הממשי.

• איך לקבוע את ערך K בכל נקודה במסלול השורשים? כעת יש שתי דרכים לקביעת ערך K, כל דרך מתוארת למטה.

• קריטריון הגודל : בכל נקודה במסלול השורשים ניתן ליישם קריטריון הגודל כמו,

באמצעות הנוסחה הזו ניתן לחשב את ערך K בכל נקודה מבוקשת.

• באמצעות תרשים מסלול השורשים : ערך K בכל s במסלול השורשים נתון על ידי

תרשים מסלול השורשים

תרשים מסלול השורשים, חלק אינטגרלי של הטכניקה הזו, משער את יציבות המערכת. על ידי מציאת ערכי 'K' שמaintains יציבות, הוא מבטיח שהמערכת תבצע בצורה אופטימלית בתנאים שונים.

עכשיו יש כמה תוצאות שצריך לזכור כדי לשרטט את מסלול השורשים. התוצאות האלה כתובות למטה:

• אזור שבו קיים מסלול השורשים : אחרי ששרטטנו את כל הפולים והאפסים במישור, ניתן בקלות למצוא את אזור קיום מסלול השורשים באמצעות כלל פשוט שנכתב למטה,רק אותו קטע ייחשב ליצירת מסלול השורשים אם סך הפולים והאפסים מימין לקטע הוא אי-זוגי.

• איך לחשב את מספר מסלולי השורשים הנפרדים ? : מספר מסלולי השורשים הנפרדים שווה למספר השורשים הכולל אם מספר השורשים גדול ממספר הפולים, אחרת מספר מסלולי השורשים הנפרדים שווה למספר הפולים הכולל אם מספר השורשים גדול ממספר האפסים.

שיטה לשרטט מסלול השורשים

בהתחשב בכל הנקודות הללו אנחנו מסוגלים לשרטט את תרשים מסלול השורשים לכל סוג של מערכת. עכשיו בואו נדון בשיטת יצירת מסלול השורשים.

• מצא את כל השורשים והפולות מהפונקציה המעבר פתוח ולשרטט אותם במישור המרוכב.

• כל מסלולי השורשים מתחילים מהפולות כאשר k = 0 ומסתיימים באפסים כאשר K שואף לאינסוף. מספר הענפים הסתיימו באינסוף שווה להבדל בין מספר הפולות ומספר האפסים של G(s)H(s).

• מצא את אזור קיום מסלולי השורשים מהשיטה שתוארה למעלה אחרי מציאת ערכי M ו-N.

• חשב נקודות מפצלות ונקודות כניסה אם קיימות.

• שרטט את האסימפטוטות ונקודת הצנטרואיד במישור המרוכב למסלולי השורשים על ידי חישוב שיפוע האסימפטוטות.

• עכשיו חשב את זוויות היציאה ואת החיתוך של מסלולי השורשים עם הציר המדומה.

• עכשיו קבע את ערך K באמצעות אחת מהשיטות שתיארתי למעלה.

על ידי הביצוע של ההליך הנ"ל אתה יכול בקלות לשרטט את תרשים מסלול השורשים לכל פונקציה מעבר פתוח.

• חשב את היתר על הגAIN.

• חשב את היתר על הפאזה.

• אתה יכול בקלות להגיב על יציבות המערכת באמצעות מערך רות.