Původní místo kořenů v regulačních systémech

Definice metody kořenového lokusu

Kořenový lokus v řídicím systému je grafická metoda používaná k analýze dopadu změn parametrů systému na stabilitu a výkon řídicího systému.

Výhody metody kořenového lokusu

• Metoda kořenového lokusu v řídicím systému je snazší k implementaci než jiné metody.

• Pomocí kořenového lokusu můžeme snadno předpovědět výkon celého systému.

• Kořenový lokus poskytuje lepší způsob indikace parametrů.

Tento článek bude často používat specifické termíny související s metodou kořenového lokusu, které jsou nezbytné pro pochopení její aplikace.

• Charakteristická rovnice související s metodou kořenového lokusu : 1 + G(s)H(s) = 0 se nazývá charakteristická rovnice. Teď, když odvodíme charakteristickou rovnici a rovnost dk/ds se rovná nule, můžeme získat body, kde dojde k odtržení.

• Body, kde dojde k odtržení : Předpokládejme, že dva kořenové lokusy, které začínají v pólech a pohybují se v opačných směrech, se srazí tak, že po srážce začnou pohybovat různými směry symetricky. Nebo body, kde dojde k odtržení, kde se vyskytnou více kořenů charakteristické rovnice 1 + G(s)H(s) = 0. Hodnota K je maximální v bodech, kde větve kořenového lokusu odtrhnou. Body, kde dojde k odtržení, mohou být reálné, imaginární nebo komplexní.

• Body, kde dojde k napojení : Podmínka, aby byly na grafu body, kde dojde k napojení, je napsána níže: Kořenový lokus musí být mezi dvěma sousedními nuly na reálné ose.

• Střed těžkosti : Je známý také jako centroid a definuje se jako bod na grafu, ze kterého začínají všechny asymptoty. Matematicky se vypočítá rozdílem součtu pólů a nul v přenosové funkci, když se toto dělí rozdílem celkového počtu pólů a celkového počtu nul. Střed těžkosti je vždy reálný a označuje se σA.

Zde ‘N’ reprezentuje počet pólů a ‘M’ označuje počet nul v systému.

• Asymptoty kořenových lokusů : Asymptota vychází ze středu těžkosti nebo centroidu a jde k nekonečnu pod určitým úhlem. Asymptoty poskytují směr kořenovému lokusu, když odcházejí z bodů, kde dojde k odtržení.

• Úhel asymptot : Asymptoty svírají určitý úhel s reálnou osou a tento úhel lze vypočítat z daného vzorce,

Kde, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)

N je celkový počet pólů

M je celkový počet nul.

• Úhel příchodu nebo odchodu : Vypočítáme úhel odchodu, když v systému existují komplexní póly. Úhel odchodu lze vypočítat jako 180-{(součet úhlů k komplexnímu pólu od ostatních pólů)-(součet úhlů k komplexnímu pólu od nul)}.

• Průnik kořenového lokusu s imaginární osou : Pro nalezení bodu průniku kořenového lokusu s imaginární osou musíme použít Routh-Hurwitzův kritérium. Nejprve najdeme pomocnou rovnici, pak odpovídající hodnota K dá hodnotu bodu průniku.

• Ziskový margin : Definujeme ziskový margin jako hodnotu, o kterou lze násobit navrženou hodnotu faktoru zisku, než se systém stane nestabilní. Matematicky je dán vztahem

• Fázový margin : Fázový margin lze vypočítat z daného vzorce:

• Symetrie kořenového lokusu : Kořenový lokus je symetrický podle x osy nebo reálné osy.

• Jak určit hodnotu K v libovolném bodě na kořenovém lokusu? Nyní existují dva způsoby, jak určit hodnotu K, každý způsob je popsán níže.

• Kritérium velikosti : V libovolném bodě na kořenovém lokusu můžeme použít kritérium velikosti, jako je napsáno níže,

Pomocí tohoto vzorce můžeme vypočítat hodnotu K v libovolném požadovaném bodě.

• Pomocí grafu kořenového lokusu : Hodnota K v libovolném bodě s na kořenovém lokusu je dána

Graf kořenového lokusu

Graf kořenového lokusu, který je integrovánou součástí této techniky, posuzuje stabilitu systému. Tím, že najde hodnoty ‘K’, které udržují stabilitu, zajišťuje, aby systém fungoval optimálně pod různými podmínkami.

Nyní existují některé výsledky, které by měl každý pamatovat, aby mohl nakreslit kořenový lokus. Tyto výsledky jsou napsány níže:

• Oblast, kde existuje kořenový lokus : Po zakreslení všech pólů a nul na rovinu můžeme snadno najít oblast existence kořenového lokusu pomocí jednoduchého pravidla, které je napsáno níže, pouze ten segment bude zahrnut do kořenového lokusu, pokud je celkový počet pólů a nul na pravé straně segmentu lichý.

• Jak vypočítat počet samostatných kořenových lokusů ? : Počet samostatných kořenových lokusů je roven celkovému počtu kořenů, pokud je počet kořenů větší než počet pólů, jinak počet samostatných kořenových lokusů je roven celkovému počtu pólů, pokud je počet kořenů větší než počet nul.

Postup kreslení kořenového lokusu

S ohledem na všechny tyto body jsme schopni nakreslit graf kořenového lokusu pro jakýkoli typ systému. Nyní si představme postup kreslení kořenového lokusu.

• Zjistěte všechny kořeny a póly z otevřené přenosové funkce a poté je zakreslete na komplexní rovinu.

• Všechny větve kořenového lokusu začínají v pólích, kde k = 0, a končí v nulách, kde K tenduje k nekonečnu. Počet větví končících v nekonečnu je roven rozdílu mezi počtem pólů & počtem nul G(s)H(s).

• Zjistěte oblast existence kořenových lokusů z metody popsané výše po zjištění hodnot M a N.

• Vypočítejte body, kde dojde k odtržení a k napojení, pokud existují.

• Zakreslete asymptoty a bod středu těžkosti na komplexní rovině pro kořenové lokusy vypočítáním sklonu asymptot.

• Nyní vypočítejte úhel odchodu a průnik kořenových lokusů s imaginární osou.

• Nyní určete hodnotu K použitím kterékoli metody, kterou jsem popsal výše.

Pomocí výše uvedeného postupu můžete snadno nakreslit graf kořenového lokusu pro jakoukoli otevřenou přenosovou funkci.

• Vypočítejte ziskový margin.

• Vypočítejte fázový margin.

• Můžete snadno zhodnotit stabilitu systému pomocí Routhova pole.