Rodpladsplot i styresystemer

Røddiagrammet defineret

Røddiagram i styringssystemer er en grafisk metode, der bruges til at analysere effekten af variabel systemparametre på stabiliteten og ydeevnen af et styringssystem.

Fordele ved røddiagrammet

• Røddiagrammet i styringssystemer er let at implementere i forhold til andre metoder.

• Med hjælp fra røddiagrammet kan vi let forudsige ydeevnen af hele systemet.

• Røddiagrammet giver en bedre måde at indikere parametrene på.

Denne artikel vil ofte bruge specifikke termer relateret til røddiagrammet, som er afgørende for at forstå dets anvendelse.

• Karakteristisk ligning relateret til røddiagrammet : 1 + G(s)H(s) = 0 kaldes karakteristisk ligning. Ved at differentiere denne karakteristiske ligning og sætte dk/ds lig med nul, kan vi finde udviklingspunkter.

• Udviklingspunkter : Antag to røddiagrammer, der starter fra en pol og bevæger sig i modsat retning, kolliderer med hinanden, så de efter kollisionen begynder at bevæge sig i forskellige retninger symmetrisk. Eller udviklingspunkter, hvor flere rødder i den karakteristiske ligning 1 + G(s)H(s) = 0 forekommer. Værdien af K er maksimal i punkterne, hvor grenene af røddiagrammet udvikler sig. Udviklingspunkter kan være reelle, imaginære eller komplekse.

• Indtrængningspunkt : Betingelsen for, at der skal være et indtrængningspunkt på plottet, er skrevet nedenfor: Røddiagrammet skal være til stede mellem to nabolegende nuller på den reelle akse.

• Tyskpunkt (Centrum for tyngdekraft) : Det er også kendt som centroid og defineres som det punkt på plottet, hvor alle asymptoter starter. Matematisk beregnes det ved forskellen mellem summen af poler og nuller i overførselsfunktionen, når denne divideres med forskellen mellem det samlede antal poler og det samlede antal nuller. Tyskpunktet er altid reelt og betegnes med σA.

Her repræsenterer 'N' antallet af poler, og 'M' angiver antallet af nuller i systemet.

• Asymptoter af røddiagrammet : Asymptoter kommer fra centrum for tyngdekraft eller centroid og går mod uendelig under en bestemt vinkel. Asymptoter giver retning til røddiagrammet, når de forlader udviklingspunkter.

• Vinkel af asymptoter : Asymptoter danner en vinkel med den reelle akse, og denne vinkel kan beregnes ved hjælp af den givne formel,

Hvor, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)

N er det samlede antal poler

M er det samlede antal nuller.

• Ankomst- eller afgangsvinkel : Vi beregner afgangsvinklen, når der findes komplekse poler i systemet. Afgangsvinklen kan beregnes som 180-{(summen af vinkler til en kompleks pol fra de andre poler)-(summen af vinkler til en kompleks pol fra nullerne)}.

• Skæringspunkt mellem røddiagrammet og den imaginære akse : For at finde skæringspunktet mellem røddiagrammet og den imaginære akse, skal vi bruge Routh-Hurwitz-kriteriet. Først finder vi den hjælpe-ligning, og den tilhørende værdi af K vil give værdien af skæringspunktet.

• Forskydningmargin : Forskydningmargin defineres som, hvor meget designværdien af forskydningsfaktoren kan multipliceres, før systemet bliver ustabil. Matematisk er det givet ved formel

• Fasemargin : Fasemargin kan beregnes ved hjælp af den givne formel:

• Symmetri af røddiagrammet : Røddiagrammet er symmetrisk omkring x-aksen eller den reelle akse.

• Hvordan bestemme værdien af K i et vilkårligt punkt på røddiagrammet? Nu er der to måder at bestemme værdien af K, hver metode er beskrevet nedenfor.

• Størrelseskriterier : I ethvert punkt på røddiagrammet kan vi anvende størrelseskriterier som følgende:

Ved hjælp af denne formel kan vi beregne værdien af K i et ønsket punkt.

• Ved hjælp af røddiagrammet : Værdien af K i et vilkårligt s på røddiagrammet er givet ved

Røddiagram

Røddiagrammet, en integreret del af denne teknik, vurderer et systems stabilitet. Ved at finde værdierne af 'K', der opretholder stabiliteten, sikrer det, at systemet yder optimalt under forskellige forhold.

Der er nogle resultater, man bør huske for at tegne røddiagrammet. Disse resultater er skrevet nedenfor:

• Område, hvor røddiagrammet findes : Efter at have plottet alle poler og nuller på planet, kan vi let finde området, hvor røddiagrammet findes, ved at bruge en simpel regel, som er skrevet nedenfor, kun det segment, hvor det samlede antal poler og nuller på højre side af segmentet er ulige, vil blive taget i betragtning ved at lave røddiagrammet.

• Hvordan beregne antallet af separate røddiagrammer ? : Antallet af separate røddiagrammer er lig med det samlede antal rødder, hvis antallet af rødder er større end antallet af poler, ellers er antallet af separate røddiagrammer lig med det samlede antal poler, hvis antallet af rødder er større end antallet af nuller.

Procedur for at tegne røddiagram

Med disse punkter i tankerne er vi i stand til at tegne røddiagrammet for enhver type system. Lad os nu diskutere proceduren for at lave et røddiagram.

• Find alle rødder og poler fra den åbne løkke-overførselsfunktion og plot dem på det komplekse plan.

• Alle røddiagrammer starter fra polerne, hvor k = 0, og afslutter ved nullerne, hvor K nærmer sig uendelig. Antallet af grene, der afslutter ved uendelig, er lig med forskellen mellem antallet af poler & antallet af nuller i G(s)H(s).

• Find området, hvor røddiagrammet findes, ved hjælp af den beskrevne metode, efter at have fundet værdierne af M og N.

• Beregne udviklingspunkter og indtrængningspunkter, hvis der er nogen.

• Plot asymptoter og centroidpunkt på det komplekse plan for røddiagrammet ved at beregne hældningen af asymptoter.

• Beregn nu afgangsvinklen og skæringspunktet mellem røddiagrammet og den imaginære akse.

• Bestem nu værdien af K ved hjælp af en af de metoder, jeg har beskrevet ovenfor.

Ved at følge denne procedure kan du nemt tegne røddiagrammet for enhver åben løkke-overførselsfunktion.

• Beregn forskydningmarginen.

• Beregn fasemarginen.

• Du kan let kommentere på systemets stabilitet ved hjælp af Routh-arrayet.