Wykres miejsca zerowego w systemach sterowania

Zdefiniowana Technika Locus Root

Locus root w systemie sterowania to graficzne podejście wykorzystywane do analizy wpływu zmieniających się parametrów systemu na stabilność i wydajność systemu sterowania.

Zalety Techniki Locus Root

• Technika locus root w systemie sterowania jest łatwiejsza do zaimplementowania w porównaniu do innych metod.

• Z pomocą locus root możemy łatwo przewidzieć wydajność całego systemu.

• Locus root dostarcza lepszy sposób wskazania parametrów.

Ten artykuł często będzie używać specyficznych terminów związanych z techniką locus root, niezbędnych do zrozumienia jej zastosowania.

• Równanie Charakterystyczne Związane z Techniką Locus Root : 1 + G(s)H(s) = 0 jest znane jako równanie charakterystyczne. Teraz różniczkując to równanie charakterystyczne i przyrównując dk/ds do zera, możemy otrzymać punkty odrywania.

• Punkty Odrywania : Przypuśćmy, że dwa locus root, które zaczynają się od biegunu i poruszają w przeciwnych kierunkach, zderzają się ze sobą tak, że po zderzeniu zaczynają poruszać się w różnych kierunkach symetrycznie. Lub punkty odrywania, w których występują wielokrotne pierwiastki równania charakterystycznego 1 + G(s)H(s) = 0. Wartość K jest maksymalna w punktach, gdzie gałęzie locus root się odrywają. Punkty odrywania mogą być rzeczywiste, urojone lub zespolone.

• Punkt Wejścia : Warunek, aby punkt wejścia był obecny na wykresie, jest podany poniżej: Locus root musi być obecny między dwoma sąsiednimi zerami na osi rzeczywistej.

• Środek Cieżkości : Jest również znany jako centroid i definiowany jest jako punkt na wykresie, od którego wszystkie asymptoty zaczynają się. Matematycznie jest on obliczany przez różnicę sumy biegunów i zer w funkcji przenoszenia, podzieloną przez różnicę całkowitej liczby biegunów i całkowitej liczby zer. Środek ciężkości jest zawsze rzeczywisty i oznaczany jest przez σA.

Tutaj, 'N' reprezentuje liczbę biegunów, a 'M' oznacza liczbę zer w systemie.

• Asymptoty Locus Root : Asymptota pochodzi ze środka ciężkości lub centroidu i idzie do nieskończoności pod określonym kątem. Asymptoty dostarczają kierunku locus root, gdy one opuszczają punkty odrywania.

• Kąt Asymptot : Asymptoty tworzą pewien kąt z osią rzeczywistą, a ten kąt można obliczyć z podanego wzoru,

Gdzie, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)

N to całkowita liczba biegunów

M to całkowita liczba zer.

• Kąt Wejścia lub Wyjścia : Obliczamy kąt wyjścia, gdy w systemie istnieją zespolone bieguny. Kąt wyjścia można obliczyć jako 180 - {(suma kątów do zespolonego bieguna od innych biegunów) - (suma kątów do zespolonego bieguna od zer)}.

• Przecięcie Locus Root z Osią Urojoną : Aby znaleźć punkt przecięcia locus root z osią urojoną, musimy użyć kryterium Routh-Hurwitza. Najpierw znajdujemy równanie pomocnicze, a następnie odpowiadająca mu wartość K da nam wartość punktu przecięcia.

• Margines Wzmocnienia : Definiujemy margines wzmocnienia jako wartość, o którą można pomnożyć projektową wartość współczynnika wzmocnienia, zanim system stanie się niestabilny. Matematycznie jest to dane przez wzór

• Margines Fazy : Margines fazy można obliczyć z podanego wzoru:

• Symetria Locus Root : Locus root jest symetryczny względem osi x lub osi rzeczywistej.

• Jak określić wartość K w dowolnym punkcie locus root? Teraz istnieją dwa sposoby określenia wartości K, każdy z nich opisany jest poniżej.

• Kryterium Amplitudowe : W dowolnym punkcie locus root możemy zastosować kryterium amplitudowe, jak poniżej,

Używając tego wzoru, możemy obliczyć wartość K w dowolnym pożądanym punkcie.

• Używając Wykresu Locus Root : Wartość K w dowolnym s na locus root wynosi

Wykres Locus Root

Wykres locus root, będący integralną częścią tej techniki, ocenia stabilność systemu. Znajdując wartości 'K', które utrzymują stabilność, zapewnia, że system działa optymalnie w różnych warunkach.

Teraz są pewne wyniki, które należy pamiętać, aby narysować locus root. Te wyniki są podane poniżej:

• Obszar, w którym locus root istnieje : Po naniesieniu wszystkich biegunów i zer na płaszczyznę, możemy łatwo ustalić obszar istnienia locus root, korzystając z jednego prostego reguły, która jest podana poniżej,Tylko ten segment zostanie uwzględniony w tworzeniu locus root, jeśli całkowita liczba biegunów i zer po prawej stronie segmentu jest nieparzysta.

• Jak obliczyć liczbę oddzielnych locus root ? : Liczba oddzielnych locus root jest równa całkowitej liczbie pierwiastków, jeśli liczba pierwiastków jest większa niż liczba biegunów, w przeciwnym razie liczba oddzielnych locus root jest równa całkowitej liczbie biegunów, jeśli liczba pierwiastków jest większa niż liczba zer.

Procedura Tworzenia Locus Root

Pamiętając o wszystkich tych punktach, jesteśmy w stanie narysować wykres locus root dla każdego rodzaju systemu. Omówmy teraz procedurę tworzenia locus root.

• Znajdź wszystkie pierwiastki i bieguny z otwarto-łącznej funkcji przenoszenia, a następnie nanieś je na płaszczyznę zespoloną.

• Wszystkie locus root zaczynają się od biegunów, gdzie k = 0, i kończą na zerach, gdzie K dąży do nieskończoności. Liczba gałęzi kończących się w nieskończoności jest równa różnicy między liczbą biegunów i liczbą zer G(s)H(s).

• Znajdź obszar istnienia locus root z metody opisanej powyżej po znalezieniu wartości M i N.

• Oblicz punkty odrywania i punkty wejścia, jeśli takie istnieją.

• Nanieś asymptoty i punkt centroidu na płaszczyźnie zespolonej dla locus root, obliczając nachylenie asymptot.

• Teraz oblicz kąt wyjścia i przecięcie locus root z osią urojoną.

• Teraz określ wartość K, używając jednej z metod, które opisałem powyżej.

Postępując zgodnie z powyższą procedurą, możesz łatwo narysować wykres locus root dla dowolnej otwarto-łącznej funkcji przenoszenia.

• Oblicz margines wzmocnienia.

• Oblicz margines fazy.

• Możesz łatwo skomentować stabilność systemu, używając tablicy Routh.