Diagramme de lieu des racines dans les systèmes de contrôle

Technique de la Place des Racines Définie

La place des racines dans un système de contrôle est une approche graphique utilisée pour analyser les effets de la variation des paramètres du système sur la stabilité et les performances d'un système de contrôle.

Avantages de la Technique de la Place des Racines

• La technique de la place des racines dans un système de contrôle est plus facile à mettre en œuvre par rapport à d'autres méthodes.

• Avec l'aide de la place des racines, nous pouvons facilement prédire les performances du système dans son ensemble.

• La place des racines fournit une meilleure façon d'indiquer les paramètres.

Cet article utilisera fréquemment des termes spécifiques liés à la technique de la place des racines essentiels pour comprendre son application.

• Équation Caractéristique Liée à la Technique de la Place des Racines : 1 + G(s)H(s) = 0 est connue sous le nom d'équation caractéristique. En différentiant maintenant cette équation caractéristique et en égalant dk/ds à zéro, nous pouvons obtenir les points de rupture.

• Points de Rupture : Supposons que deux places des racines qui commencent à partir d'un pôle et se déplacent dans des directions opposées se heurtent l'une à l'autre de telle sorte qu'après la collision, elles commencent à se déplacer dans différentes directions de manière symétrique. Ou les points de rupture où se produisent plusieurs racines de l'équation caractéristique 1 + G(s)H(s) = 0. La valeur de K est maximale aux points où les branches de la place des racines se séparent. Les points de rupture peuvent être réels, imaginaires ou complexes.

• Point de Retour : La condition pour qu'il y ait un point de retour sur le tracé est écrite ci-dessous : La place des racines doit être présente entre deux zéros adjacents sur l'axe réel.

• Centre de Gravité : Il est également connu sous le nom de centroïde et est défini comme le point sur le tracé à partir duquel toutes les asymptotes commencent. Mathématiquement, il est calculé par la différence de la somme des pôles et des zéros dans la fonction de transfert divisée par la différence du nombre total de pôles et du nombre total de zéros. Le centre de gravité est toujours réel et est noté par σA.

Ici, 'N' représente le nombre de pôles, et 'M' désigne le nombre de zéros dans le système.

• Asymptotes de la Place des Racines : L'asymptote part du centre de gravité ou du centroïde et va vers l'infini à un certain angle. Les asymptotes fournissent une direction à la place des racines lorsqu'elles s'éloignent des points de rupture.

• Angle des Asymptotes : Les asymptotes forment un certain angle avec l'axe réel, et cet angle peut être calculé à partir de la formule donnée,

Où, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)

N est le nombre total de pôles

M est le nombre total de zéros.

• Angle d'Arrivée ou de Départ : Nous calculons l'angle de départ lorsque le système comporte des pôles complexes. L'angle de départ peut être calculé comme 180 - {(somme des angles à un pôle complexe des autres pôles) - (somme des angles à un pôle complexe des zéros)}.

• Intersection de la Place des Racines avec l'Axe Imaginaire : Pour trouver le point d'intersection de la place des racines avec l'axe imaginaire, nous devons utiliser le critère de Routh-Hurwitz. D'abord, nous trouvons l'équation auxiliaire, puis la valeur correspondante de K donnera la valeur du point d'intersection.

• Marge de Gain : Nous définissons la marge de gain par le facteur par lequel la valeur de conception du facteur de gain peut être multipliée avant que le système ne devienne instable. Mathématiquement, elle est donnée par la formule

• Marge de Phase : La marge de phase peut être calculée à partir de la formule suivante :

• Symétrie de la Place des Racines : La place des racines est symétrique par rapport à l'axe x ou à l'axe réel.

• Comment déterminer la valeur de K en tout point de la place des racines ? Il existe maintenant deux façons de déterminer la valeur de K, chacune est décrite ci-dessous.

• Critère de Magnitude : En tout point de la place des racines, nous pouvons appliquer le critère de magnitude comme suit,

En utilisant cette formule, nous pouvons calculer la valeur de K en tout point souhaité.

• En Utilisant le Tracé de la Place des Racines : La valeur de K en tout s sur la place des racines est donnée par

Tracé de la Place des Racines

Le tracé de la place des racines, partie intégrante de cette technique, évalue la stabilité d'un système. En trouvant les valeurs de 'K' qui maintiennent la stabilité, il garantit que le système fonctionne de manière optimale dans diverses conditions.

Il existe certains résultats que l'on doit retenir pour tracer la place des racines. Ces résultats sont écrits ci-dessous :

• Région où la place des racines existe : Après avoir tracé tous les pôles et les zéros sur le plan, nous pouvons facilement trouver la région d'existence de la place des racines en utilisant une règle simple qui est écrite ci-dessous,Seul le segment sera pris en compte pour faire la place des racines si le nombre total de pôles et de zéros à droite du segment est impair.

• Comment calculer le nombre de places des racines séparées ? : Le nombre de places des racines séparées est égal au nombre total de racines si le nombre de racines est supérieur au nombre de pôles, sinon le nombre de places des racines séparées est égal au nombre total de pôles si le nombre de racines est supérieur au nombre de zéros.

Procédure pour Tracer la Place des Racines

En gardant tous ces points à l'esprit, nous sommes en mesure de tracer le tracé de la place des racines pour n'importe quel type de système. Discutons maintenant de la procédure de réalisation d'une place des racines.

• Trouvez tous les racines et pôles à partir de la fonction de transfert en boucle ouverte, puis tracez-les sur le plan complexe.

• Toutes les places des racines commencent aux pôles où k = 0 et se terminent aux zéros où K tend vers l'infini. Le nombre de branches se terminant à l'infini est égal à la différence entre le nombre de pôles et le nombre de zéros de G(s)H(s).

• Trouvez la région d'existence de la place des racines selon la méthode décrite ci-dessus après avoir trouvé les valeurs de M et N.

• Calculez les points de rupture et les points de retour s'ils existent.

• Tracez les asymptotes et le point de centroïde sur le plan complexe pour la place des racines en calculant la pente des asymptotes.

• Calculez maintenant l'angle de départ et l'intersection de la place des racines avec l'axe imaginaire.

• Déterminez maintenant la valeur de K en utilisant l'une des méthodes que j'ai décrites ci-dessus.

En suivant la procédure ci-dessus, vous pouvez facilement tracer le tracé de la place des racines pour n'importe quelle fonction de transfert en boucle ouverte.

• Calculez la marge de gain.

• Calculez la marge de phase.

• Vous pouvez facilement commenter la stabilité du système en utilisant le tableau de Routh.