Gyökörhely diagram a vezérlőrendszerekben

Gyöklokuszmódszer Definíciója

A gyöklokusz a vezérlőrendszerben egy grafikus megközelítés, amelyet arra használnak, hogy elemzésen alapulva vizsgálják a rendszerparaméterek változtatásának hatását a vezérlőrendszer stabilitására és teljesítményére.

A Gyöklokuszmódszer Előnyei

• A gyöklokusz módszer a vezérlőrendszerekben könnyebb megvalósítható, mint más módszerek.

• A gyöklokusz segítségével könnyedén előre jelezhetjük a teljes rendszer teljesítményét.

• A gyöklokusz jobb módot nyújt a paraméterek jelölésére.

Ez a cikk gyakran használja a gyöklokusztechnikához kapcsolódó specifikus kifejezéseket, amelyek alapvetőek az alkalmazás megértéséhez.

• A Gyöklokusztechnikához Kapcsolódó Karakterisztikus Egyenlet : 1 + G(s)H(s) = 0 a karakterisztikus egyenlet. Ha most ezt az egyenletet differenciáljuk, és a dk/ds-t nullával tesszük egyenlővé, akkor meghatározhatjuk a szakadási pontokat.

• Szakadási Pontok : Tegyük fel, hogy két gyöklokusz, ami pólusból indul, ellentétes irányban halad, összeütközik egymással, úgy, hogy az ütközés után szimmetrikusan eltérő irányba kezd el mozogni. Vagy a szakadási pontok, ahol a 1 + G(s)H(s) = 0 karakterisztikus egyenlet több gyöke létezik. A K értéke maximális a pontokon, ahol a gyöklokusz ágai szakadnak. A szakadási pontok valós, képzetes vagy komplex is lehetnek.

• Belépési Pont : A belépés feltétele, hogy a gyöklokusz jelenjen meg a valós tengely két egymás melletti zérusa között.

• Súlypont : Ez ismert centoidnak, és azzal a ponttal definiálható, ahonnan minden aszimptota indul. Matematikailag a pólusok és zérusok összegének különbségével, osztva a pólusok és zérusok teljes számának különbségével számolható. A súlypont mindig valós, és σA-val jelöljük.

Itt 'N' a pólusok, 'M' pedig a zérusok számát jelöli a rendszerben.

• A Gyöklokusz Aszimptotái : Az aszimptoták a súlypontból vagy centoidból indulnak, és végtelenbe tartanak adott szögben. Az aszimptoták irányt adják a gyöklokusz ágnak, amikor szakadási pontokon hagyják őket.

• Aszimptoták Szöge : Az aszimptoták adott szöget zár be a valós tengellyel, amit a következő képlet alapján számíthatunk:

Ahol, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)

N a pólusok teljes száma

M a zérusok teljes száma.

• Érkezési vagy Távozási Szög : Az érkezési vagy távozási szöget akkor számítjuk, ha a rendszerben komplex pólusok vannak. Az érkezési vagy távozási szög kiszámítható, mint 180 - {(a többi pólustól a komplex pólushoz vezető szögek összege) - (a zérusoktól a komplex pólushoz vezető szögek összege)}.

• A Gyöklokusz Metszése a Képzetes Tengellyel : A gyöklokusz metszésének meghatározásához a képzetes tengellyel Routh-Hurwitz kritériumot kell használnunk. Először meghatározzuk az auxiliáris egyenletet, majd a hozzá tartozó K érték adja a metszéspont értékét.

• Nyereség Margó : A nyereség margót úgy definiáljuk, hogy mennyivel tudjuk megszorozni a nyerés tényező tervezési értékét, mielőtt a rendszer instabilissá válik. Matematikailag a következő képlettel adható meg:

• Fázis Margó : A fázis margót a következő képlet alapján számíthatjuk:

• A Gyöklokusz Szimmetriája : A gyöklokusz szimmetrikus az x tengelyre, vagy a valós tengelyre nézve.

• Hogyan határozhatjuk meg a K értékét bármely ponton a gyöklokuszon? Most két módja van a K érték meghatározásának, amelyek leírása lent található.

• Amplitúdó Kritérium : Bármely ponton a gyöklokuszon alkalmazhatjuk az amplitúdó kritériumot, mint:

Ezzel a képlettel meghatározhatjuk a K értékét bármely kívánt ponton.

• Gyöklokusz Diagram Használata : A K értéke bármely s ponton a gyöklokuszon a következőképpen adható meg:

Gyöklokusz Diagram

A gyöklokusz diagram, ennek a technikának egy integrált része, a rendszer stabilitását értékeli. A stabilitást fenntartó K értékek megtalálásával biztosítja, hogy a rendszer optimálisan működjön különböző feltételek mellett.

Most vannak olyan eredmények, amelyeket meg kell jegyezni a gyöklokusz rajzolásához. Ezek az eredmények a következők:

• A gyöklokusz létező régiója : Miután minden pólust és zérust kirajzoltuk a síkon, könnyen meghatározhatjuk a gyöklokusz létező régióját a következő egyszerű szabály segítségével, ami így hangzik:Csak az a szakasz lesz figyelembe vehető a gyöklokusz rajzolásához, ha a szakasz jobb oldalán lévő pólusok és zérusok teljes száma páratlan.

• Hogyan számítható a különálló gyöklokuszok száma ? : A különálló gyöklokuszok száma egyenlő a gyökök teljes számával, ha a gyökök száma nagyobb, mint a pólusok száma, ellenkező esetben a különálló gyöklokuszok száma egyenlő a pólusok teljes számával, ha a gyökök száma nagyobb, mint a zérusok száma.

Eljárás a Gyöklokusz Rajzolásához

Mind ezeket a pontokat figyelembe véve képesek vagyunk bármilyen rendszer gyöklokusz diagramját kirajzolni. Most beszéljünk el a gyöklokusz rajzolásának eljárásáról.

• Határozzuk meg az összes gyököt és pólust a nyitott hurokátviteli függvényből, majd ábrázoljuk őket a komplex síkon.

• Minden gyöklokusz a pólusból indul, ahol K = 0, és a zérusoknál ér véget, ahol K a végtelenhez tart. Az végtelenbe érő ágak száma egyenlő a G(s)H(s) pólusainak és zérusainak különbségével.

• Határozzuk meg a gyöklokusz létező régióját a fenti módszerrel, miután meghatároztuk M és N értékét.

• Számítsuk ki a szakadási pontokat és a belépési pontokat, ha vannak ilyenek.

• Rajzoljuk fel az aszimptotákat és a centroid pontot a komplex síkon a gyöklokuszok számára, az aszimptoták meredekségének kiszámításával.

• Most számítsuk ki az érkezési szöget és a gyöklokusz metszését a képzetes tengellyel.

• Most határozzuk meg a K értékét a fent leírt bármelyik módszer segítségével.

A fenti eljárás alapján könnyedén kirajzolható a gyöklokusz diagram bármilyen nyitott hurokátviteli függvényre.

• Számítsuk ki a nyereség margót.

• Számítsuk ki a fázis margót.

• Könnyedén megjegyzést tehetünk a rendszer stabilitásáról a Routh-táblázat segítségével.