Root Locus Plot در سیستمهای کنترل
تعریف تکنیک مکان هندسی ریشهها
مکان هندسی ریشهها در سیستم کنترل، یک رویکرد گرافیکی است که برای تحلیل اثرات تغییر پارامترهای سیستم بر پایداری و عملکرد یک سیستم کنترل استفاده میشود.
مزایای تکنیک مکان هندسی ریشهها
تکنیک مکان هندسی ریشهها در سیستم کنترل نسبت به سایر روشها آسانتر اجرا میشود.
با کمک مکان هندسی ریشهها میتوانیم به راحتی عملکرد کل سیستم را پیشبینی کنیم.
مکان هندسی ریشهها روش بهتری برای نشان دادن پارامترها فراهم میکند.
این مقاله به طور مکرر از واژههای خاص مرتبط با تکنیک مکان هندسی ریشهها استفاده خواهد کرد که برای درک کاربرد آن ضروری است.
معادله مشخصه مرتبط با تکنیک مکان هندسی ریشهها : 1 + G(s)H(s) = 0 به عنوان معادله مشخصه شناخته میشود. حالا با مشتق گرفتن از معادله مشخصه و برابر قرار دادن dk/ds با صفر، میتوانیم نقاط جدایی را بدست آوریم.
نقاط جدایی : فرض کنید دو مکان هندسی ریشهای که از قطب شروع میشوند و در جهت مخالف حرکت میکنند با یکدیگر برخورد میکنند به طوری که پس از برخورد آنها در جهتهای مختلف به طور متقارن حرکت میکنند. یا نقاط جدایی که در آنها ریشههای چندگانه معادله مشخصه 1 + G(s)H(s) = 0 رخ میدهند. مقدار K در نقاطی که شاخههای مکان هندسی ریشهها جدایی مییابند بیشترین مقدار را دارد. نقاط جدایی میتوانند حقیقی، موهومی یا مختلط باشند.
نقطه ورود : شرط وجود نقطه ورود در نمودار زیر نوشته شده است: مکان هندسی ریشهها باید بین دو صفر مجاور روی محور حقیقی موجود باشد.
مرکز ثقل : این مرکز همچنین به عنوان سنترود شناخته میشود و به عنوان نقطهای در نمودار تعریف میشود که از آن تمام خطوط مجانب شروع میشوند. از لحاظ ریاضی، این نقطه با تفاوت جمع قطبها و صفرها در تابع انتقال وقتی که تقسیم بر تعداد کل قطبها منهای تعداد کل صفرها شود محاسبه میشود. مرکز ثقل همیشه حقیقی است و با σA نشان داده میشود.
در اینجا، 'N' تعداد قطبها و 'M' تعداد صفرها در سیستم را نشان میدهد.
خطهای مجانب مکان هندسی ریشهها : خطهای مجانب از مرکز ثقل یا سنترود شروع میشوند و به بینهایت در زاویه مشخصی میروند. خطهای مجانب جهت مکان هندسی ریشهها را وقتی که از نقاط جدایی جدا میشوند مشخص میکنند.
زاویه خطهای مجانب : خطهای مجانب زاویهای با محور حقیقی میسازند و این زاویه میتواند از فرمول زیر محاسبه شود،
که در آن، p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)
N تعداد کل قطبها است
M تعداد کل صفرها است.
زاویه ورود یا خروج : ما زاویه خروج را وقتی که قطبهای مختلط در سیستم وجود دارند محاسبه میکنیم. زاویه خروج میتواند به صورت 180-{(مجموع زاویهها به یک قطب مختلط از سایر قطبها)-(مجموع زاویهها به یک قطب مختلط از صفرها)} محاسبه شود.
تقاطع مکان هندسی ریشهها با محور موهومی : برای یافتن نقطه تقاطع مکان هندسی ریشهها با محور موهومی، باید از معیار رات-هرویتز استفاده کنیم. ابتدا معادله کمکی را پیدا میکنیم و سپس مقدار متناظر K مقدار نقطه تقاطع را خواهد داد.
مارجین کسب : ما مارجین کسب را تعریف میکنیم که مقدار طراحی شده عامل کسب را قبل از اینکه سیستم ناپایدار شود میتواند ضرب شود. ریاضیاً این مقدار از فرمول زیر بدست میآید
مارجین فاز : مارجین فاز میتواند از فرمول زیر محاسبه شود:
تقارن مکان هندسی ریشهها : مکان هندسی ریشهها نسبت به محور x یا محور حقیقی متقارن است.
چگونه مقدار K در هر نقطهای از مکان هندسی ریشهها را تعیین کنیم؟ حالا دو روش برای تعیین مقدار K وجود دارد، هر روش در زیر توضیح داده شده است.
معیار اندازه : در هر نقطهای از مکان هندسی ریشهها میتوانیم معیار اندازه را به صورت زیر اعمال کنیم،
با استفاده از این فرمول میتوانیم مقدار K را در هر نقطهای که میخواهیم محاسبه کنیم.
استفاده از نمودار مکان هندسی ریشهها : مقدار K در هر s از مکان هندسی ریشهها به صورت زیر محاسبه میشود
نمودار مکان هندسی ریشهها
نمودار مکان هندسی ریشهها، بخش اساسی این تکنیک است که پایداری یک سیستم را ارزیابی میکند. با یافتن مقادیر 'K' که پایداری را حفظ میکنند، اطمینان میدهد که سیستم تحت شرایط مختلف بهینه عمل میکند.
حالا نتایجی وجود دارد که باید به خاطر داشته باشید تا نمودار مکان هندسی ریشهها را رسم کنید. این نتایج در زیر آمدهاند:
منطقهای که مکان هندسی ریشهها در آن وجود دارد : بعد از رسم همه قطبها و صفرها روی صفحه مختلط، میتوانیم به راحتی منطقهای که مکان هندسی ریشهها در آن وجود دارد را با استفاده از قاعده سادهای که در زیر آمده است، پیدا کنیم،فقط آن بخشی در رسم مکان هندسی ریشهها در نظر گرفته میشود که تعداد کل قطبها و صفرها در سمت راست آن بخش فرد باشد.
چگونه تعداد مکان هندسیهای جداگانه را محاسبه کنیم؟ : تعداد مکان هندسیهای جداگانه برابر با تعداد کل ریشهها است اگر تعداد ریشهها بیشتر از تعداد قطبها باشد در غیر این صورت تعداد مکان هندسیهای جداگانه برابر با تعداد کل قطبها است اگر تعداد ریشهها بیشتر از تعداد صفرها باشد.
روند رسم مکان هندسی ریشهها
با در نظر گرفتن همه این نکات، قادر خواهیم بود نمودار مکان هندسی ریشهها را برای هر نوع سیستمی رسم کنیم. حالا روند ساخت مکان هندسی ریشهها را بیان میکنیم.
تمام ریشهها و قطبها را از تابع انتقال حلقه باز پیدا کنید و آنها را روی صفحه مختلط رسم کنید.
تمام مکان هندسیهای ریشهها از قطبها شروع میشوند که k = 0 است و در صفرها به پایان میرسند که K به بینهایت میل میکند. تعداد شاخههایی که در بینهایت پایان مییابند برابر با تفاضل تعداد قطبها و تعداد صفرهای G(s)H(s) است.
منطقهای که مکان هندسی ریشهها در آن وجود دارد را با استفاده از روش فوق پس از یافتن مقادیر M و N پیدا کنید.
نقاط جدایی و نقاط ورود را اگر وجود داشته باشند محاسبه کنید.
خطهای مجانب و نقطه مرکز ثقل را روی صفحه مختلط برای مکان هندسی ریشهها با محاسبه شیب خطهای مجانب رسم کنید.
حالا زاویه خروج و تقاطع مکان هندسی ریشهها با محور موهومی را محاسبه کنید.
حالا مقدار K را با استفاده از یکی از روشهایی که در بالا توصیف کردم محاسبه کنید.
با دنبال کردن روند فوق میتوانید به راحتی نمودار مکان هندسی ریشهها را برای هر تابع انتقال حلقه بازی رسم کنید.
مارجین کسب را محاسبه کنید.
مارجین فاز را محاسبه کنید.
میتوانید به راحتی با استفاده از آرایه رات بر پایداری سیستم نظر دهید.
