رسم مسار الجذر في أنظمة التحكم

تعريف تقنية موضع الجذر

موضع الجذر في نظام التحكم هو طريقة رسومية تستخدم لتحليل تأثيرات تغير معلمات النظام على استقرار وأداء نظام التحكم.

مزايا تقنية موضع الجذر

• تقنية موضع الجذر في نظام التحكم سهلة التنفيذ مقارنة بالطرق الأخرى.

• بمساعدة موضع الجذر يمكننا التنبؤ بسهولة بأداء النظام كله.

• يقدم موضع الجذر طريقة أفضل لتوضيح المعلمات.

سيستخدم هذا المقال بشكل متكرر مصطلحات محددة تتعلق بتقنية موضع الجذر وهي ضرورية لفهم تطبيقها.

• المعادلة المميزة المتعلقة بتقنية موضع الجذر : 1 + G(s)H(s) = 0 تعرف باسم المعادلة المميزة. الآن عن طريق تمييز المعادلة المميزة وتساوي dk/ds بصفر، يمكننا الحصول على نقاط الانفصال.

• نقاط الانفصال : فلنفترض أن هناك مسارين لموضع الجذر يبدأان من القطب ويتحركان في اتجاهين متعاكسين ويتصادمان مع بعضهما بحيث بعد التصادم يبدأان في التحرك في اتجاهات مختلفة بطريقة متناظرة. أو نقاط الانفصال التي يحدث فيها جذور متعددة للمعادلة المميزة 1 + G(s)H(s) = 0. قيمة K تكون أقصى ما يكون عند النقاط التي تنفصل فيها فروع موضع الجذر. قد تكون نقاط الانفصال حقيقية أو تخيلية أو معقدة.

• نقطة الدخول : شرط وجود نقطة الدخول في الرسم كما يلي: يجب أن يكون موضع الجذر موجودًا بين صفرتين متجاورتين على المحور الحقيقي.

• مركز الثقل : يعرف أيضًا باسم المركز ويُعرَّف بأنه النقطة على الرسم التي تبدأ منها جميع الخطوط المقاربة. رياضيًا، يتم حسابه من خلال الفرق بين مجموع الأقطاب والصفرات في دالة التحويل عندما يتم قسمته على الفرق بين العدد الإجمالي للأقطاب والعدد الإجمالي للصفرات. مركز الثقل دائمًا حقيقي ويُرمز إليه بـ σA.

هنا، يمثل 'N' عدد الأقطاب، و'M' يمثل عدد الصفرات في النظام.

• الخطوط المقاربة لموضع الجذر : تنشأ الخطوط المقاربة من مركز الثقل وتتجه إلى اللانهائي بزاوية محددة. توفر الخطوط المقاربة الاتجاه لموضع الجذر عندما ينفصل عن نقاط الانفصال.

• زاوية الخطوط المقاربة : تشكل الخطوط المقاربة زاوية مع المحور الحقيقي ويمكن حساب هذه الزاوية من خلال الصيغة التالية،

حيث p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)

N هو العدد الإجمالي للأقطاب

M هو العدد الإجمالي للصفرات.

• زاوية الوصول أو الانطلاق : نحسب زاوية الانطلاق عندما يوجد أقطاب معقدة في النظام. يمكن حساب زاوية الانطلاق كـ 180-{(مجموع الزوايا إلى قطب معقد من الأقطاب الأخرى)-(مجموع الزوايا إلى قطب معقد من الصفرات)}.

• تقاطع موضع الجذر مع المحور التخيلي : لتحديد نقطة التقاطع لموضع الجذر مع المحور التخيلي، يجب استخدام معيار روث هيرفيتز. أولاً، نجد المعادلة المساعدة ثم سيتم تقديم قيمة K المقابلة لنحصل على قيمة نقطة التقاطع.

• هامش الكسب : نحدد هامش الكسب بضرب قيمة عامل الكسب قبل أن يصبح النظام غير مستقر. رياضيًا، يتم تعريفه بواسطة الصيغة التالية

• هامش الطور : يمكن حساب هامش الطور من خلال الصيغة التالية:

• تماثل موضع الجذر : موضع الجذر متماثل حول محور x أو المحور الحقيقي.

• كيف يمكن تحديد قيمة K عند أي نقطة على موضع الجذر؟ هناك طريقتان لتحديد قيمة K، وستتم وصف كل طريقة أدناه.

• معايير القيمة : عند أي نقطة على موضع الجذر يمكننا تطبيق معايير القيمة كما يلي،

باستخدام هذه الصيغة يمكننا حساب قيمة K عند أي نقطة مرغوبة.

• باستخدام رسم موضع الجذر : قيمة K عند أي s على موضع الجذر هي

رسم موضع الجذر

يعتبر رسم موضع الجذر جزءًا لا يتجزأ من هذه التقنية، حيث يقيم استقرار النظام. من خلال إيجاد قيم 'K' التي تحافظ على الاستقرار، يضمن أن النظام يعمل بشكل مثالي تحت ظروف مختلفة.

هناك بعض النتائج التي يجب تذكرها لرسم موضع الجذر. هذه النتائج مذكورة أدناه:

• منطقة وجود موضع الجذر : بعد رسم جميع الأقطاب والصفرات على المستوى، يمكننا بسهولة تحديد منطقة وجود موضع الجذر باستخدام قاعدة بسيطة مذكورة أدناه،سيتم اعتبار القطعة فقط في رسم موضع الجذر إذا كان العدد الإجمالي للأقطاب والصفرات على الجانب الأيمن من القطعة فرديًا.

• كيفية حساب عدد المسارات المنفصلة لموضع الجذر : يساوي عدد المسارات المنفصلة لموضع الجذر العدد الإجمالي للجذور إذا كان عدد الجذور أكبر من عدد الأقطاب، وإلا فإن عدد المسارات المنفصلة يساوي العدد الإجمالي للأقطاب إذا كان عدد الجذور أكبر من عدد الصفرات.

إجراءات رسم موضع الجذر

بأخذ جميع هذه النقاط في الاعتبار، سنتمكن من رسم موضع الجذر لأي نوع من الأنظمة. دعونا الآن نناقش إجراءات رسم موضع الجذر.

• اكتشف جميع الجذور والأقطاب من دالة التحويل ذات الحلقة المفتوحة ثم رسمها على المستوى المعقد.

• جميع مسارات موضع الجذر تبدأ من الأقطاب حيث k = 0 وتنتهي عند الصفرات حيث K يتجه إلى اللانهائي. عدد الفروع التي تنتهي في اللانهائي يساوي الفرق بين عدد الأقطاب وعدد الصفرات لـ G(s)H(s).

• احسب منطقة وجود مسارات موضع الجذر من خلال الطريقة الواردة أعلاه بعد اكتشاف قيم M و N.

• احسب نقاط الانفصال ونقاط الدخول إن وجدت.

• ارسم الخطوط المقاربة ونقطة المركز على المستوى المعقد لموضع الجذر من خلال حساب ميل الخطوط المقاربة.

• الآن احسب زاوية الانطلاق وتقاطع موضع الجذر مع المحور التخيلي.

• الآن حدد قيمة K باستخدام أي طريقة من الطرق التي وصفتها أعلاه.

بمتابعة الإجراءات المذكورة أعلاه، يمكنك بسهولة رسم موضع الجذر لأي دالة تحويل ذات حلقة مفتوحة.

• احسب هامش الكسب.

• احسب هامش الطور.

• يمكنك التعليق بسهولة على استقرار النظام باستخدام صفيف روث.