제어 시스템에서의 근궤적도

루트 로커스 기법 정의

제어 시스템에서 루트 로커스는 시스템 매개변수의 변화가 제어 시스템의 안정성과 성능에 미치는 영향을 분석하는 그래픽 접근법입니다.

루트 로커스 기법의 장점

• 제어 시스템에서 루트 로커스 기법은 다른 방법들에 비해 구현하기 쉽습니다.

• 루트 로커스를 통해 전체 시스템의 성능을 쉽게 예측할 수 있습니다.

• 루트 로커스는 매개변수를 표시하는 더 나은 방법을 제공합니다.

이 기사에서는 루트 로커스 기법의 적용을 이해하는데 필요한 특정 용어들을 자주 사용할 것입니다.

• 루트 로커스 기법 관련 특성 방정식 : 1 + G(s)H(s) = 0은 특성 방정식으로 알려져 있습니다. 이제 이 특성 방정식을 미분하고 dk/ds를 0으로 만드는 점을 찾으면 분리점(break away points)을 얻을 수 있습니다.

• 분리점(Break away Points) : 극점에서 시작하여 반대 방향으로 이동하는 두 개의 루트 로커스가 서로 충돌하여 충돌 후 대칭적으로 다른 방향으로 이동하는 경우 또는 특성 방정식 1 + G(s)H(s) = 0의 중복근이 발생하는 점을 말합니다. K의 값은 루트 로커스의 가지가 분리되는 점에서 최대입니다. 분리점은 실수, 허수 또는 복소수일 수 있습니다.

• 접속점(Break in Point) : 실축 위의 두 인접한 영점 사이에 루트 로커스가 존재해야 합니다.

• 중심(Centre of Gravity) : 이것은 또한 중심점(centroid)이라고 불리며, 모든 점근선이 시작되는 플롯 상의 점을 의미합니다. 수학적으로, 이는 전달 함수의 극점과 영점의 합의 차를 극점의 총 개수와 영점의 총 개수의 차로 나눈 것으로 계산됩니다. 중심은 항상 실수이며, σA로 표기됩니다.

여기서 'N'은 극점의 수를, 'M'은 영점의 수를 나타냅니다.

• 루트 로커스의 점근선(Asymptotes of Root Loci) : 점근선은 중심점이나 중심에서 시작하여 특정 각도로 무한대로 갑니다. 점근선은 루트 로커스가 분리점에서 떠날 때 방향을 제공합니다.

• 점근선의 각도(Angle of Asymptotes) : 점근선은 실축과 일정한 각도를 이루며, 이 각도는 다음 공식으로 계산할 수 있습니다,

여기서, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)

N은 극점의 총 개수

M은 영점의 총 개수입니다.

• 도착각 또는 출발각(Angle of Arrival or Departure) : 시스템에 복소 극점이 있을 때 도착각 또는 출발각을 계산합니다. 도착각 또는 출발각은 180-{(다른 극점에서 복소 극점까지의 각도의 합)-(영점에서 복소 극점까지의 각도의 합)}로 계산할 수 있습니다.

• 루트 로커스와 허수축의 교차점(Intersection of Root Locus with the Imaginary Axis) : 허수축과 루트 로커스의 교차점을 찾기 위해서는 Routh-Hurwitz 기준을 사용해야 합니다. 먼저 보조 방정식을 찾고, 해당 K 값은 교차점의 값을 제공합니다.

• 이득 여유(Gain Margin) : 이득 여유는 시스템이 불안정해지기 전까지 설계된 이득 인자의 값을 얼마나 곱할 수 있는지를 정의합니다. 수학적으로 다음과 같은 공식으로 주어집니다

• 위상 여유(Phase Margin) : 위상 여유는 다음과 같은 공식으로 계산할 수 있습니다:

• 루트 로커스의 대칭성(Symmetry of Root Locus) : 루트 로커스는 x축 또는 실축에 대해 대칭입니다.

• 루트 로커스의 어떤 점에서 K의 값을 결정하는 방법은 두 가지가 있습니다. 각 방법은 아래에 설명되어 있습니다.

• 크기 기준(Magnitude Criteria) : 루트 로커스의 어떤 점에서도 크기 기준을 적용할 수 있습니다.

이 공식을 사용하여 원하는 점에서 K의 값을 계산할 수 있습니다.

• 루트 로커스 플롯을 사용하여(K 값 결정) : 루트 로커스의 어떤 s에서 K의 값은 다음과 같이 주어집니다

루트 로커스 플롯

루트 로커스 플롯은 이 기법의 중요한 부분으로, 시스템의 안정성을 평가합니다. 안정성을 유지하는 K의 값을 찾음으로써, 다양한 조건 하에서 시스템이 최적의 성능을 발휘하도록 합니다.

루트 로커스를 그리기 위해 기억해야 할 몇 가지 결과가 있습니다. 이러한 결과는 아래에 작성되어 있습니다.

• 루트 로커스가 존재하는 영역 : 모든 극점과 영점을 평면에 플롯한 후, 다음 단순한 규칙을 사용하여 루트 로커스의 존재 영역을 쉽게 찾을 수 있습니다.구간의 오른쪽에 있는 극점과 영점의 총 개수가 홀수인 경우만 루트 로커스로 고려됩니다.

• 분리된 루트 로커스의 수를 어떻게 계산하나요? : 분리된 루트 로커스의 수는 극점보다 많은 근의 수와 같으며, 그렇지 않으면 극점의 수와 같습니다.

루트 로커스 플롯 절차

이러한 모든 점을 염두에 두고, 어떠한 종류의 시스템이라도 루트 로커스 플롯을 그릴 수 있습니다. 이제 루트 로커스를 그리는 절차를 논의해 보겠습니다.

• 오픈 루프 전달 함수에서 모든 근과 극점을 찾아 복소평면에 플롯합니다.

• 모든 루트 로커스는 k = 0인 극점에서 시작하여 K가 무한대로 가는 영점에서 종료됩니다. G(s)H(s)의 극점과 영점의 수의 차이만큼 루트 로커스의 가지가 무한대로 확장됩니다.

• 위에서 설명한 방법을 사용하여 M과 N의 값을 찾은 후, 루트 로커스의 존재 영역을 찾습니다.

• 분리점과 접속점을 계산합니다.

• 점근선의 기울기를 계산하여 복소평면에 점근선과 중심점을 플롯합니다.

• 출발각과 루트 로커스가 허수축과 만나는 점을 계산합니다.

• 위에서 설명한 방법 중 하나를 사용하여 K의 값을 결정합니다.

위의 절차를 따르면 어떠한 오픈 루프 전달 함수에 대해서도 루트 로커스 플롯을 쉽게 그릴 수 있습니다.

• 이득 여유를 계산합니다.

• 위상 여유를 계산합니다.

• Routh 배열을 사용하여 시스템의 안정성을 쉽게 평가할 수 있습니다.