제어 시스템에서의 근궤적도
루트 로커스 기법 정의
제어 시스템에서 루트 로커스는 시스템 매개변수의 변화가 제어 시스템의 안정성과 성능에 미치는 영향을 분석하는 그래픽 접근법입니다.
루트 로커스 기법의 장점
제어 시스템에서 루트 로커스 기법은 다른 방법들에 비해 구현하기 쉽습니다.
루트 로커스를 통해 전체 시스템의 성능을 쉽게 예측할 수 있습니다.
루트 로커스는 매개변수를 표시하는 더 나은 방법을 제공합니다.
이 기사에서는 루트 로커스 기법의 적용을 이해하는데 필요한 특정 용어들을 자주 사용할 것입니다.
루트 로커스 기법 관련 특성 방정식 : 1 + G(s)H(s) = 0은 특성 방정식으로 알려져 있습니다. 이제 이 특성 방정식을 미분하고 dk/ds를 0으로 만드는 점을 찾으면 분리점(break away points)을 얻을 수 있습니다.
분리점(Break away Points) : 극점에서 시작하여 반대 방향으로 이동하는 두 개의 루트 로커스가 서로 충돌하여 충돌 후 대칭적으로 다른 방향으로 이동하는 경우 또는 특성 방정식 1 + G(s)H(s) = 0의 중복근이 발생하는 점을 말합니다. K의 값은 루트 로커스의 가지가 분리되는 점에서 최대입니다. 분리점은 실수, 허수 또는 복소수일 수 있습니다.
접속점(Break in Point) : 실축 위의 두 인접한 영점 사이에 루트 로커스가 존재해야 합니다.
중심(Centre of Gravity) : 이것은 또한 중심점(centroid)이라고 불리며, 모든 점근선이 시작되는 플롯 상의 점을 의미합니다. 수학적으로, 이는 전달 함수의 극점과 영점의 합의 차를 극점의 총 개수와 영점의 총 개수의 차로 나눈 것으로 계산됩니다. 중심은 항상 실수이며, σA로 표기됩니다.
여기서 'N'은 극점의 수를, 'M'은 영점의 수를 나타냅니다.
루트 로커스의 점근선(Asymptotes of Root Loci) : 점근선은 중심점이나 중심에서 시작하여 특정 각도로 무한대로 갑니다. 점근선은 루트 로커스가 분리점에서 떠날 때 방향을 제공합니다.
점근선의 각도(Angle of Asymptotes) : 점근선은 실축과 일정한 각도를 이루며, 이 각도는 다음 공식으로 계산할 수 있습니다,
여기서, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)
N은 극점의 총 개수
M은 영점의 총 개수입니다.
도착각 또는 출발각(Angle of Arrival or Departure) : 시스템에 복소 극점이 있을 때 도착각 또는 출발각을 계산합니다. 도착각 또는 출발각은 180-{(다른 극점에서 복소 극점까지의 각도의 합)-(영점에서 복소 극점까지의 각도의 합)}로 계산할 수 있습니다.
루트 로커스와 허수축의 교차점(Intersection of Root Locus with the Imaginary Axis) : 허수축과 루트 로커스의 교차점을 찾기 위해서는 Routh-Hurwitz 기준을 사용해야 합니다. 먼저 보조 방정식을 찾고, 해당 K 값은 교차점의 값을 제공합니다.
이득 여유(Gain Margin) : 이득 여유는 시스템이 불안정해지기 전까지 설계된 이득 인자의 값을 얼마나 곱할 수 있는지를 정의합니다. 수학적으로 다음과 같은 공식으로 주어집니다
위상 여유(Phase Margin) : 위상 여유는 다음과 같은 공식으로 계산할 수 있습니다:
루트 로커스의 대칭성(Symmetry of Root Locus) : 루트 로커스는 x축 또는 실축에 대해 대칭입니다.
루트 로커스의 어떤 점에서 K의 값을 결정하는 방법은 두 가지가 있습니다. 각 방법은 아래에 설명되어 있습니다.
크기 기준(Magnitude Criteria) : 루트 로커스의 어떤 점에서도 크기 기준을 적용할 수 있습니다.
이 공식을 사용하여 원하는 점에서 K의 값을 계산할 수 있습니다.
루트 로커스 플롯을 사용하여(K 값 결정) : 루트 로커스의 어떤 s에서 K의 값은 다음과 같이 주어집니다
루트 로커스 플롯
루트 로커스 플롯은 이 기법의 중요한 부분으로, 시스템의 안정성을 평가합니다. 안정성을 유지하는 K의 값을 찾음으로써, 다양한 조건 하에서 시스템이 최적의 성능을 발휘하도록 합니다.
루트 로커스를 그리기 위해 기억해야 할 몇 가지 결과가 있습니다. 이러한 결과는 아래에 작성되어 있습니다.
루트 로커스가 존재하는 영역 : 모든 극점과 영점을 평면에 플롯한 후, 다음 단순한 규칙을 사용하여 루트 로커스의 존재 영역을 쉽게 찾을 수 있습니다.구간의 오른쪽에 있는 극점과 영점의 총 개수가 홀수인 경우만 루트 로커스로 고려됩니다.
분리된 루트 로커스의 수를 어떻게 계산하나요? : 분리된 루트 로커스의 수는 극점보다 많은 근의 수와 같으며, 그렇지 않으면 극점의 수와 같습니다.
루트 로커스 플롯 절차
이러한 모든 점을 염두에 두고, 어떠한 종류의 시스템이라도 루트 로커스 플롯을 그릴 수 있습니다. 이제 루트 로커스를 그리는 절차를 논의해 보겠습니다.
오픈 루프 전달 함수에서 모든 근과 극점을 찾아 복소평면에 플롯합니다.
모든 루트 로커스는 k = 0인 극점에서 시작하여 K가 무한대로 가는 영점에서 종료됩니다. G(s)H(s)의 극점과 영점의 수의 차이만큼 루트 로커스의 가지가 무한대로 확장됩니다.
위에서 설명한 방법을 사용하여 M과 N의 값을 찾은 후, 루트 로커스의 존재 영역을 찾습니다.
분리점과 접속점을 계산합니다.
점근선의 기울기를 계산하여 복소평면에 점근선과 중심점을 플롯합니다.
출발각과 루트 로커스가 허수축과 만나는 점을 계산합니다.
위에서 설명한 방법 중 하나를 사용하여 K의 값을 결정합니다.
위의 절차를 따르면 어떠한 오픈 루프 전달 함수에 대해서도 루트 로커스 플롯을 쉽게 그릴 수 있습니다.
이득 여유를 계산합니다.
위상 여유를 계산합니다.
Routh 배열을 사용하여 시스템의 안정성을 쉽게 평가할 수 있습니다.
