Διάγραμμα Ριζών σε Συστήματα Ελέγχου

Ορισμός Τεχνικής Root Locus

Το root locus στα συστήματα ελέγχου είναι μια γραφική προσέγγιση που χρησιμοποιείται για την ανάλυση των επιπτώσεων της μεταβολής των παραμέτρων του συστήματος στη σταθερότητα και την απόδοση ενός συστήματος ελέγχου.

Πλεονεκτήματα της Τεχνικής Root Locus

• Η τεχνική root locus στα συστήματα ελέγχου είναι εύκολη να εφαρμοστεί σε σύγκριση με άλλες μεθόδους.

• Με τη βοήθεια του root locus μπορούμε εύκολα να προβλέψουμε την απόδοση του συνόλου του συστήματος.

• Το root locus παρέχει μια καλύτερη μέθοδο για την δείξη των παραμέτρων.

Αυτό το άρθρο θα χρησιμοποιήσει συχνά συγκεκριμένους όρους που σχετίζονται με την τεχνική root locus, οι οποίοι είναι απαραίτητοι για την κατανόηση της εφαρμογής της.

• Χαρακτηριστική Εξίσωση Σχετικά με την Τεχνική Root Locus : 1 + G(s)H(s) = 0 είναι γνωστή ως χαρακτηριστική εξίσωση. Τώρα, διαφορικοποιώντας την χαρακτηριστική εξίσωση και ισοτιμώντας το dk/ds με μηδέν, μπορούμε να βρούμε τα σημεία διακοπής.

• Σημεία Διακοπής : Υποθέτουμε δύο root loci που ξεκινούν από πόλους και κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις, συγκροτούνται μεταξύ τους τέτοια ώστε μετά τη σύγκρουση να ξεκινούν να κινούνται σε διαφορετικές κατευθύνσεις με συμμετρικό τρόπο. ή τα σημεία διακοπής στα οποία πολλαπλές ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης 1 + G(s)H(s) = 0 εμφανίζονται. Η τιμή του K είναι μέγιστη στα σημεία όπου οι κλάδοι του root loci διακόπτονται. Τα σημεία διακοπής μπορεί να είναι πραγματικά, φανταστικά ή πολύπλοκα.

• Σημεία Εισόδου : Η συνθήκη για την εμφάνιση σημείων εισόδου στο διάγραμμα είναι η εξής: Το root locus πρέπει να είναι παρόν μεταξύ δύο συνεχόμενων μηδενικών στον πραγματικό άξονα.

• Κέντρο Βαρύτητας : Είναι επίσης γνωστό ως κέντρο και ορίζεται ως το σημείο στο διάγραμμα από το οποίο ξεκινούν όλες οι ασύμπτωτες. Μαθηματικά, υπολογίζεται από τη διαφορά της αθροίσεως των πόλων και των μηδενικών στη μεταφορτώση όταν χωρίζεται από τη διαφορά του συνολικού αριθμού πόλων και του συνολικού αριθμού μηδενικών. Το κέντρο βαρύτητας είναι πάντα πραγματικό και συμβολίζεται με σA.

Εδώ, ‘N’ αντιπροσωπεύει τον αριθμό των πόλων, και ‘M’ σημαίνει τον αριθμό των μηδενικών στο σύστημα.

• Ασύμπτωτες του Root Loci : Η ασύμπτωτη πηγαίνει από το κέντρο βαρύτητας ή το κέντρο και φθάνει στο άπειρο σε συγκεκριμένη γωνία. Οι ασύμπτωτες παρέχουν κατεύθυνση στο root locus όταν αυτό διακόπτεται στα σημεία διακοπής.

• Γωνία των Ασύμπτωτων : Οι ασύμπτωτες δημιουργούν μια γωνία με τον πραγματικό άξονα και αυτή η γωνία μπορεί να υπολογιστεί από την εξής τύπο,

Όπου, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)

N είναι ο συνολικός αριθμός πόλων

M είναι ο συνολικός αριθμός μηδενικών.

• Γωνία Άφιξης ή Αναχώρησης : Υπολογίζουμε τη γωνία αναχώρησης όταν υπάρχουν πολύπλοκοι πόλοι στο σύστημα. Η γωνία αναχώρησης μπορεί να υπολογιστεί ως 180-{(άθροισμα των γωνιών προς έναν πολύπλοκο πόλο από τους άλλους πόλους)-(άθροισμα των γωνιών προς έναν πολύπλοκο πόλο από τα μηδενικά)}.

• Τομή του Root Locus με τον Φανταστικό Άξονα : Για να βρούμε το σημείο τομής του root locus με τον φανταστικό άξονα, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το κριτήριο Routh Hurwitz. Πρώτα, βρίσκουμε την εξίσωση βοηθείας, τότε η αντίστοιχη τιμή του K θα δώσει την τιμή του σημείου τομής.

• Περιθώριο Κέρδους : Ορίζουμε το περιθώριο κέρδους ως το ποσοστό με το οποίο η σχεδιασμένη τιμή του παράγοντα κέρδους μπορεί να πολλαπλασιαστεί πριν το σύστημα γίνει ασταθές. Μαθηματικά, δίνεται από την εξής τύπο

• Φασικό Περιθώριο : Το φασικό περιθώριο μπορεί να υπολογιστεί από την εξής τύπο:

• Συμμετρία του Root Locus : Το root locus είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα x ή τον πραγματικό άξονα.

• Πώς να καθορίσετε την τιμή του K σε οποιοδήποτε σημείο του root loci; Τώρα υπάρχουν δύο τρόποι για την καθορισμό της τιμής του K, κάθε τρόπος περιγράφεται παρακάτω.

• Κριτήρια Μέγεθους : Σε οποιοδήποτε σημείο του root locus μπορούμε να εφαρμόσουμε τα κριτήρια μεγέθους ως εξής,

Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή του K σε οποιοδήποτε επιθυμητό σημείο.

• Χρησιμοποιώντας το Root Locus Plot : Η τιμή του K σε οποιοδήποτε s στο root locus δίνεται από

Root Locus Plot

Το root locus plot, ένα απαραίτητο μέρος αυτής της τεχνικής, αξιολογεί τη σταθερότητα ενός συστήματος. Βρίσκοντας τις τιμές του 'K' που διατηρούν τη σταθερότητα, εξασφαλίζει ότι το σύστημα λειτουργεί επτυχώς υπό διάφορες συνθήκες.

Υπάρχουν κάποια αποτελέσματα που θα πρέπει να θυμόμαστε για να κατασκευάσουμε το root locus. Αυτά τα αποτελέσματα είναι γραμμένα παρακάτω:

• Περιοχή όπου υπάρχει το root locus : Μετά την κατασκευή όλων των πόλων και μηδενικών στο επίπεδο, μπορούμε εύκολα να βρούμε την περιοχή ύπαρξης του root locus χρησιμοποιώντας ένα απλό κανόνα, το οποίο είναι γραμμένο παρακάτω,Μόνο αυτό το τμήμα θα ληφθεί υπόψη στην κατασκευή του root locus, αν ο συνολικός αριθμός πόλων και μηδενικών στα δεξιά του τμήματος είναι περιττός.

• Πώς να υπολογίσετε τον αριθμό των ξεχωριστών root loci ; : Ο αριθμός των ξεχωριστών root loci είναι ίσος με τον συνολικό αριθμό των ρίζων, αν ο αριθμός των ριζών είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των πόλων, διαφορετικά ο αριθμός των ξεχωριστών root loci είναι ίσος με τον συνολικό αριθμό των πόλων, αν ο αριθμός των ριζών είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των μηδενικών.