Коренов локус в системи за управление

Определение техники корневого локуса

Корневой локус в системах управления е графичен метод, използван за анализ на влиянието на променящите се параметри на системата върху стабилността и производителността на системата за управление.

Преимущества на техниката на корневия локус

• Техниката на корневия локус в системите за управление е по-лесна за прилагане в сравнение с други методи.

• С помощта на корневия локус можем лесно да предвидим производителността на цялата система.

• Корневият локус предоставя по-добър начин за указване на параметрите.

Тази статия ще използва често специфични термини, свързани с техниката на корневия локус, които са необходими за разбиране на нейното приложение.

• Характеристично уравнение, свързано с техниката на корневия локус : 1 + G(s)H(s) = 0 е известно като характеристично уравнение. Сега, диференцирайки характеристичното уравнение и приравнявайки dk/ds към нула, можем да получим точки на разцепяване.

• Точки на разцепяване : Представете си два коренови локуса, които започват от полюс и се движат в противоположни посоки, и се сблъскват така, че след сблъсъка те започват да се движат в различни посоки симетрично. Или точките на разцепяване, в които се появяват множествени корени на характеристичното уравнение 1 + G(s)H(s) = 0. Стойността на K е максимална в точките, където клоновете на кореновия локус се разцепяват. Точки на разцепяване могат да бъдат реални, имагинерни или комплексни.

• Точки на влизане : Условие за наличието на точки на влизане в графиката е следното: Кореновият локус трябва да съществува между две съседни нули на реалната ос.

• Център на тежестта : Познат още като центроид, той е дефиниран като точка в графиката, от която започват всички асимптоти. Математически се изчислява като разликата между сумата на полюсите и нулите в преходната функция, разделена на разликата между общия брой полюси и общия брой нули. Центърът на тежестта винаги е реален и се означава с σA.

Тук, ‘N’ представлява броя на полюсите, а ‘M’ означава броя на нулите в системата.

• Асимптоти на кореновия локус : Асимптотата започва от центъра на тежестта или центроида и отива до безкрайността под определен ъгъл. Асимптотите дават насока на кореновия локус, когато той напуска точки на разцепяване.

• Ъгъл на асимптотите : Асимптотите правят определен ъгъл с реалната ос и този ъгъл може да се изчисли с формулата,

Където, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)

N е общият брой полюси

M е общият брой нули.

• Ъгъл на пристигане или заминаване : Изчисляваме ъгъла на заминаване, когато в системата съществуват комплексни полюси. Ъгълът на заминаване може да се изчисли като 180-{(сума от ъглите до комплексен полюс от другите полюси)-(сума от ъглите до комплексен полюс от нулите)}.

• Пресичане на кореновия локус с имагинерната ос : За да намерим точката на пресичане на кореновия локус с имагинерната ос, трябва да използваме критерия на Раут-Хурвиц. Първо, намираме въспомогателното уравнение, а после съответната стойност на K ще даде стойността на точката на пресичане.

• Маржа на усиление : Определяме маржата на усиление като стойност, с която проектната стойност на фактора на усиление може да бъде умножена, преди системата да стане нестабилна. Математически тя се дава с формулата

• Фазов марж : Фазовият марж може да се изчисли с формулата:

• Симетрия на кореновия локус : Кореновият локус е симетричен спрямо x-ос или реалната ос.

• Как да определим стойността на K във всяка точка на кореновия локус? Сега има два начина за определяне на стойността на K, всеки от които е описан по-долу.

• Критерий за величината : Във всяка точка на кореновия локус можем да приложим критерия за величината както следва,

Използвайки тази формула, можем да изчислим стойността на K в желаната точка.

• Използване на графиката на кореновия локус : Стойността на K във всяка точка s на кореновия локус се дава с

Графика на кореновия локус

Графиката на кореновия локус, интегрална част от тази техника, оценява стабилността на системата. Намирайки стойностите на 'K', които поддържат стабилността, тя осигурява оптимална работа на системата при различни условия.

Сега има някои резултати, които трябва да се запомнят, за да се начертаят кореновият локус. Тези резултати са описани по-долу:

• Регион, в който съществува кореновият локус : След като чертаем всички полюси и нули на равнината, можем лесно да намерим региона на съществуване на кореновия локус, използвайки едно просто правило, което е описано по-долу,Само този сегмент ще бъде взет предвид при чертане на кореновия локус, ако общият брой полюси и нули от дясната страна на сегмента е нечетен.

• Как да изчислим броя на отделните коренови локуси ? : Броят на отделните коренови локуси е равен на общия брой корени, ако броят на корените е по-голям от броя на полюсите, в противен случай броят на отделните коренови локуси е равен на общия брой полюси, ако броят на корените е по-голям от броя на нулите.

Процедура за чертане на кореновия локус

При спазване на всички тези точки, можем да начертаем графиката на кореновия локус за всякакъв вид система. Сега нека обсъдим процедурата за изграждане на кореновия локус.

• Намерете всички корени и полюси от отворената преходна функция и ги начертайте на комплексната равнина.

• Всички коренови локуси започват от полюсите, където k = 0, и завършват при нулите, където K тендира към безкрайност. Броят на клоновете, завършващи в безкрайност, е равен на разликата между броя на полюсите и броя на нулите на G(s)H(s).

• Намерете региона на съществуване на кореновия локус с метода, описан по-горе, след като намерите стойностите на M и N.

• Изчислете точки на разцепяване и точки на влизане, ако има такива.

• Начертайте асимптотите и центроидната точка на комплексната равнина за кореновия локус, изчислявайки наклона на асимптотите.

• Сега изчислете ъгъла на заминаване и пресичането на кореновия локус с имагинерната ос.

• Сега определете стойността на K, използвайки един от методите, които съм описал по-горе.

Следвайки горепосочената процедура, можете лесно да начертаете графиката на кореновия локус за всяка отворена преходна функция.

• Изчислете маржата на усиление.

• Изчислете фазовия марж.

• Можете лесно да коментирате стабилността на системата, използвайки масив на Раут.