Grafiku tal-Radix fil-Systems ta' Kontroll

Definizzjoni tal-Teknika ta’ Root Locus

Il-root locus fl-istabbiliment tas-sistema hu metoda grafika użata biex analizza l-effetti tal-varjazzjonijiet fil-parametri tas-sistema fuq l-istabbiliment u l-prestazzjoni tas-sistema tad-dikkarja.

Vantaggi tal-Teknika ta’ Root Locus

• It-teknika ta’ root locus fl-istabbiliment tas-sistema hija ħafna facilili għal implementazzjoni minn oħra metodi.

• Bil-għajnuna ta’ root locus nistgħu nprevedu l-prestazzjoni tal-sistema kollha b’mod ħafna facilili.

• Il-root locus jipprovdi mod aħjar biex indikaw il-parametri.

Dan l-artiklu se jagħmel użu frekwenenti mit-termini speċifiċi relati mal-teknika ta’ root locus li huma essenzjali għall-komprens jew applikazzjoni tagħha.

• L-Equazzjoni Karatteristiċi Relata ma’ Teknika ta’ Root Locus : 1 + G(s)H(s) = 0 tista' tkun magħrufa bħala l-equazzjoni karatteristiċi. Ara waqt li ndifferenzjaw l-equazzjoni karatteristiċi u ekwivokaw dk/ds ma’ siffru, nistgħu nagħtaw l-punti tal-break away.

• Punti ta’ Break Away : Supponi li fi żewġ root loci li jiġu mill-poli u jmovu f’direzzjonijiet mhux stess ikollezjonaw madwarhom bhejjex li wara l-kolizzjoni jibdew jmovu f’direzzjonijiet differenti simmetriċament. Jkun hemm punti ta’ break away fejn jkun hemm multipli roots tal-equazzjoni karatteristiċi 1 + G(s)H(s) = 0. Il-valur ta’ K huwa l-aħar meta l-frawd tal-root loci jkollhom break away. Il-punti ta’ break away jistgħu jkunu reali, immaginarji jew komplessi.

• Punti ta’ Break In : Il-kondizzjoni għal break in li għandha tkun preżenti fuq il-plot hija skrita hawn taħt: Il-root locus għandu jkun preżent bejn żewġ zeros adjasenti fuq l-assi reale.

• Ċentru ta’ Gravità: Huwa wkoll magħruf bħala centroid u huwa definit bħala l-punt fuq il-plot minn fejn tikbdu kull asimptoti. Matematikament, huwa kalkulat mill-differenza tal-summa tal-poli u tal-zeros fit-transfer function meta tiġi divisa bl-idfferenza tat-tot tal-poli u tat-tot tal-zeros. Il-ċentru ta’ gravità huwa dejjem reali u huwa indikat bħal σA.

Hawn, ‘N’ irrapreżenta l-numru ta’ poli, u ‘M’ jindika l-numru ta’ zeros fis-sistema.

• Asimptoti tal-Root Loci : L-asimptoti jkunu mill-ċentru ta’ gravità jew centroid u jidiru lejn l-infinit f’determinata angolu. L-asimptoti jipprovdu direzzjoni għal root locus meta jkollhom break away points.

• Angulu tal-Asimptoti : L-asimptoti jagħmlu xi angulu mal-assi reale u dan l-angulu jista' jikkalkula mill-formola sewwa,

Fejn, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)

N huwa l-total numru ta’ poli

M huwa l-total numru ta’ zeros.

• Angulu ta’ Arrivu jew Departur : Ninkalkulaw l-angulu ta’ departur meta jkun hemm poli komplessi fis-sistema. L-angulu ta’ departur jista' jikkalkula bħala 180-{(somma ta’ l-angoli għal polu komplessi mis-polji oħra)-(somma ta’ l-angoli għal polu komplessi mil-zeros)}.

• Intersezzjoni tal-Root Locus mal-Assi Immaginarju : Biex niffindaw il-punt ta’ intersezzjoni tal-Root Locus mal-assi immaginarju, għandna nużaw il-kriterju Routh Hurwitz. Waqgħod, niffindaw l-equazzjoni ausiliarja u l-valur korrispondenti ta’ K jgħibu l-valur tal-punt ta’ intersezzjoni.

• Margen ta’ Gain : Nidefinixxu l-margen ta’ gain bħala l-valur tal-factor tal-gain li għandu jittellaq qabel is-sistema tisbaħ instabbli. Matematikament huwa data mill-formola

• Margen ta’ Faza : Il-margen ta’ faza jista' jikkalkula mill-formola:

• Simmetrija tal-Root Locus : Il-Root Locus hu simmetri dwar l-assi x jew l-assi reale.

• Kemm determinaw il-valur ta’ K fuq punkt quddiem fil-root loci? Issa hemm żewġ modi biex nideterminaw il-valur ta’ K, kull mod huwa deskritt hawn taħt.

• Kriterji ta’ Magnitudo : Fuq punkti quddiem fil-root locus nistgħu nippliku kriterji ta’ magnitudo kif segue,

Użu dan il-formola sabiex inkalkulaw il-valur ta’ K fuq punktu desideratu.

• Użu tal-Plot ta’ Root Locus : Il-valur ta’ K fuq s quddiem fil-root locus huwa dati bħala

Plot ta’ Root Locus

Il-plot ta’ root locus, parti integranti ta’ din it-teknika, assessa l-istabbiliment tas-sistema. Bi t-troġ tal-valuri ta’ ‘K’ li jissostengh l-istabbiliment, dawk jassiguraw li s-sistema tippforma l-optimalment taħt varjazzjonijiet diversi.

Issa hemm xi riżultati li għandhom jiġu rikordati biex plotjaw il-root locus. Dawn ir-riżultati huma skritti hawn taħt:

• Reġjun fejn jeżisti l-root locus : Waqt li kollox il-poli u l-zeros kienu plottjati fuq il-pjan, nistgħu nsilġu l-reġjun ta’ eżistenza tal-root locus bill-użu ta’ regola simpliċi li hi skrita hawn taħt,Faqdat mhux stess tal-segment ser jiġi konsiderat fil-bini ta’ root locus jekk in-numru totali ta’ poli u zeros fuq il-parti dxieri tal-segment hu strambi.

• Kemm inkalkulaw in-numru ta’ root loci separati ? : In-numru ta’ root loci separati huwa l-istess bħal in-numru totali ta’ roots jekk in-numru ta’ roots hu akbar mill-in-numru ta’ poli, inkella in-numru ta’ root loci separati huwa l-istess bħal in-numru totali ta’ poli jekk in-numru ta’ roots hu akbar mill-in-numru ta’ zeros.

Proċedura biex Plotjaw Root Locus

B’ Alla dawn il-punti fil-memorja nistgħu ndraw il-plot ta’ root locus għal siddu sistema. Issa dibbuġħu l-proċedura ta’ bini ta’ root locus.

• Għaddeġġu l-roots u l-poli minn transfer function open loop u idrawhom fuq il-pjan komplessi.

• Kull root loci jibda mill-poli fejn k = 0 u jtermiena fil-zeros fejn K tendi lejn infinit. In-numru ta’ branches li jtermienaw lejn infinit hu l-differenza bejn in-numru ta’ poli u in-numru ta’ zeros ta’ G(s)H(s).

• Għaddeġġu l-reġjun ta’ eżistenza tal-root loci mill-metodu descrivut hawn fuq wara t-troġ tal-valuri ta’ M u N.

• Ikalkulaw l-punti ta’ break away u break in jekk hemm.

• Idraw l-asimptoti u l-punt tal-ċentroid fuq il-pjan komplessi għal root loci bill-iktar kbir tal-asimptoti.

• Issa ikalkulaw l-angulu ta’ departur u l-intersezzjoni tal-root loci mal-assi immaginarju.

• Issa determinal il-valur ta’ K bill-użu ta’ l-ebda metodu li descrivt hawn fuq.

Bill-following ta’ din il-proċedura tista' tidraw il-plot ta’ root locus għal kull open loop transfer function.

• Ikalkulaw il-margen ta’ gain.

• Ikalkulaw il-margen ta’ faza.

• Tista' tkommenta fuq l-istabbiliment tas-sistema bill-użu tal-array Routh.