Koreni stupanj u sustavima upravljanja

Definirana tehnika lokusa korijena

Lokus korijena u sustavu upravljanja je grafički pristup koji se koristi za analizu utjecaja variranja parametara sustava na stabilnost i performanse sustava upravljanja.

Prednosti tehnike lokusa korijena

• Tehnika lokusa korijena u sustavu upravljanja laksi je za implementaciju uspoređen s drugim metodama.

• S pomoću lokusa korijena možemo lako predvidjeti performanse cijelog sustava.

• Lokus korijena pruža bolji način za označavanje parametara.

Ovaj članak često će koristiti specifične termine vezane uz tehniku lokusa korijena, kojima je nužno razumjeti njihovu primjenu.

• Karakteristična jednadžba vezana uz tehniku lokusa korijena : 1 + G(s)H(s) = 0 poznata je kao karakteristična jednadžba. Sada, diferenciranjem karakteristične jednadžbe i postavljanjem dk/ds jednak nuli, možemo dobiti točke odlaska.

• Točke odlaska : Pretpostavimo da dva lokusa korijena koji počinju od pola kretaju se u suprotnom smjeru i sudaraju se tako da nakon sudara počnu kretati u različitim smjerovima simetrično. Ili točke odlaska na kojima se događaju višestruki korijeni karakteristične jednadžbe 1 + G(s)H(s) = 0. Vrijednost K je najveća u točkama gdje granice lokusa korijena odlaze. Točke odlaska mogu biti realne, imaginarno ili kompleksne.

• Točka ulaza : Uvjet za postojanje točke ulaza na grafu naveden je ispod: Lokus korijena mora biti između dva susjedna nultočka na realnoj osi.

• Centar težišta : Poznat i kao centoid, definira se kao točka na grafu od koje sve asimptote počinju. Matematički, izračunava se razlikom zbroja polova i nultočaka u prijenosnoj funkciji podijeljenom s razlikom ukupnog broja polova i ukupnog broja nultočaka. Centar težišta uvijek je realan i označava se sa σA.

Ovdje, 'N' predstavlja broj polova, a 'M' označava broj nultočaka u sustavu.

• Asimptote lokusa korijena : Asimptota počinje od centra težišta ili centroida i ide do beskonačnosti pod određenim kutom. Asimptote pružaju smjer lokusu korijena kad odlaze iz točaka odlaska.

• Kut asimptota : Asimptote zaklapaju neki kut s realnom osi, a taj kut može se izračunati prema sljedećoj formuli,

Gdje, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)

N je ukupni broj polova

M je ukupni broj nultočaka.

• Kut dolaska ili odlaska : Izračunavamo kut dolaska kada u sustavu postoje kompleksni polovi. Kut dolaska može se izračunati kao 180-{(zbroj kutova do kompleksnog pola od ostalih polova)-(zbroj kutova do kompleksnog pola od nultočaka)}.

• Presjek lokusa korijena s imaginarnom osi : Da bismo pronašli točku presjeka lokusa korijena s imaginarnom osi, moramo koristiti kriterij Routh-Hurwitz. Prvo, pronađemo pomoćnu jednadžbu, a zatim odgovarajuća vrijednost K daje vrijednost točke presjeka.

• Margina pojačanja : Definiramo marginu pojačanja kojom se projektirana vrijednost faktora pojačanja može pomnožiti prije nego što sustav postane nestabilan. Matematički, dana je formulom

• Fazna margina : Faznu marginu možemo izračunati prema sljedećoj formuli:

• Simetrija lokusa korijena : Lokus korijena je simetričan oko x-osi ili realne osi.

• Kako odrediti vrijednost K na bilo kojoj točki na lokusu korijena? Sada postoje dva načina određivanja vrijednosti K, svaki način opisan je ispod.

• Kriterij magnituda : Na bilo kojoj točki na lokusu korijena možemo primijeniti kriterij magnituda, kao što slijedi,

Koristeći ovu formulu, možemo izračunati vrijednost K na bilo kojoj željenoj točki.

• Korištenje dijagrama lokusa korijena : Vrijednost K na bilo kojem s na lokusu korijena dana je sa

Dijagram lokusa korijena

Dijagram lokusa korijena, integralni dio ove tehnike, procjenjuje stabilnost sustava. Pronalaženjem vrijednosti 'K' koje održavaju stabilnost, osigurava optimalnu performansu sustava pod različitim uvjetima.

Sada postoje neki rezultati koje treba zapamtiti kako bi se nacrtao lokus korijena. Ovi rezultati su navedeni ispod:

• Regija u kojoj postoji lokus korijena : Nakon crtanja svih polova i nultočaka na ravnini, lako možemo pronaći regiju postojanja lokusa korijena koristeći jednostavno pravilo koje je navedeno ispod,Samo taj segment će se uzeti u obzir pri crtanju lokusa korijena ako je ukupan broj polova i nultočaka desno od segmenta neparan.

• Kako izračunati broj odvojenih lokusa korijena ? : Broj odvojenih lokusa korijena jednak je ukupnom broju korijena ako je broj korijena veći od broja polova, inače broj odvojenih lokusa korijena jednak je ukupnom broju polova ako je broj korijena veći od broja nultočaka.

Postupak crtanja lokusa korijena

Zapamteći sve ove točke, možemo nacrtati dijagram lokusa korijena za bilo koji vrstu sustava. Sada, raspravimo o postupku crtanja lokusa korijena.

• Pronađite sve korijene i polove iz otvorene petlje prijenosne funkcije, a zatim ih nacrtajte na kompleksnoj ravnini.

• Svi lokusi korijena počinju od polova gdje je k = 0 i završavaju na nultočkama gdje K teži beskonačnosti. Broj grana koje završavaju u beskonačnosti jednak je razlici između broja polova & broja nultočaka G(s)H(s).

• Pronađite regiju postojanja lokusa korijena metodom opisanim iznad nakon pronalaženja vrijednosti M i N.

• Izračunajte točke odlaska i točke ulaza, ako postoje.

• Nacrtajte asimptote i točku centroida na kompleksnoj ravnini za lokuse korijena izračunavajući nagib asimptota.

• Sada izračunajte kut dolaska i presjek lokusa korijena s imaginarnom osi.

• Sada odredite vrijednost K koristeći bilo koju od metoda koje sam opisao iznad.

Slijedeći gore navedeni postupak, lako možete nacrtati dijagram lokusa korijena za bilo koju otvorenu petlju prijenosne funkcije.

• Izračunajte marginu pojačanja.

• Izračunajte faznu marginu.

• Lako možete komentirati stabilnost sustava korištenjem tablice Routh-a.