नियंत्रण प्रणाली में मूल ट्रेस आरेख

मूल लोकस तकनीक की परिभाषा

नियंत्रण प्रणाली में मूल लोकस एक ग्राफिकल दृष्टिकोण है जिसका उपयोग प्रणाली के पैरामीटरों को बदलने के प्रभाव का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है, जो नियंत्रण प्रणाली की स्थिरता और प्रदर्शन पर प्रभाव डालता है।

मूल लोकस तकनीक के फायदे

• नियंत्रण प्रणाली में मूल लोकस तकनीक को अन्य विधियों की तुलना में लागू करना आसान होता है।

• मूल लोकस की मदद से हम आसानी से पूरी प्रणाली के प्रदर्शन का अनुमान लगा सकते हैं।

• मूल लोकस पैरामीटरों को इंगित करने का बेहतर तरीका प्रदान करता है।

यह लेख अक्सर मूल लोकस तकनीक से संबंधित विशिष्ट शब्दों का उपयोग करेगा, जो इसके अनुप्रयोग को समझने के लिए आवश्यक हैं।

• मूल लोकस तकनीक से संबंधित विशिष्ट समीकरण : 1 + G(s)H(s) = 0 को विशिष्ट समीकरण के रूप में जाना जाता है। अब विशिष्ट समीकरण का विभेदन करके और dk/ds को शून्य के बराबर समान करके, हम टूटने वाले बिंदुओं को प्राप्त कर सकते हैं।

• टूटने वाले बिंदु : मान लीजिए दो मूल लोकस जो एक ध्रुव से शुरू होते हैं और विपरीत दिशा में चलते हैं, एक दूसरे से टकराते हैं जिसके बाद वे विभिन्न दिशाओं में सममित रूप से चलना शुरू करते हैं। या वे टूटने वाले बिंदु हैं जहाँ विशिष्ट समीकरण 1 + G(s)H(s) = 0 के बहुत सारे मूल होते हैं। K का मान उन बिंदुओं पर अधिकतम होता है जहाँ मूल लोकस की शाखाएँ टूटती हैं। टूटने वाले बिंदु वास्तविक, काल्पनिक या जटिल हो सकते हैं।

• टूटने वाला बिंदु : टूटने वाले बिंदु के लिए ग्राफ पर निम्नलिखित शर्त लिखी गई है: मूल लोकस वास्तविक अक्ष पर दो निकटवर्ती शून्यों के बीच में मौजूद होना चाहिए।

• केंद्रक : इसे केंद्रक भी कहा जाता है और इसे ग्राफ पर वह बिंदु परिभाषित किया जाता है जहाँ से सभी अनंत रेखाएँ शुरू होती हैं। गणितीय रूप से, इसे ट्रांसफर फंक्शन में ध्रुवों और शून्यों के योग के अंतर द्वारा, ध्रुवों की कुल संख्या और शून्यों की कुल संख्या के अंतर से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है। केंद्रक हमेशा वास्तविक होता है और इसे σA द्वारा निरूपित किया जाता है।

यहाँ, 'N' ध्रुवों की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, और 'M' प्रणाली में शून्यों की संख्या को दर्शाता है।

• मूल लोकस की अनंत रेखाएँ : अनंत रेखाएँ केंद्रक या केंद्र से उत्पन्न होती हैं और निश्चित कोण पर अनंत तक जाती हैं। अनंत रेखाएँ मूल लोकस को दिशा देती हैं जब वे टूटने वाले बिंदुओं से दूर जाती हैं।

• अनंत रेखाओं का कोण : अनंत रेखाएँ वास्तविक अक्ष से कुछ कोण बनाती हैं और इस कोण की गणना नीचे दिए गए सूत्र से की जा सकती है,

जहाँ, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)

N ध्रुवों की कुल संख्या है

M शून्यों की कुल संख्या है।

• प्रवेश या निकासी का कोण : हम प्रवेश या निकासी का कोण तब गणना करते हैं जब प्रणाली में जटिल ध्रुव मौजूद होते हैं। प्रवेश या निकासी का कोण इस प्रकार गणना किया जा सकता है 180-{(एक जटिल ध्रुव से अन्य ध्रुवों के कोणों का योग)-(एक जटिल ध्रुव से शून्यों के कोणों का योग)}।

• काल्पनिक अक्ष के साथ मूल लोकस का प्रतिच्छेदन : काल्पनिक अक्ष के साथ मूल लोकस के प्रतिच्छेदन बिंदु को खोजने के लिए, हमें Routh Hurwitz मानक का उपयोग करना होता है। पहले, हम सहायक समीकरण खोजते हैं और फिर K का संगत मान प्रतिच्छेदन बिंदु का मान देता है।

• गेन मार्जिन : हम गेन मार्जिन को उस गुणांक के डिजाइन मूल्य से परिभाषित करते हैं जिसे प्रणाली अस्थिर होने से पहले गुणा किया जा सकता है। गणितीय रूप से यह दिए गए सूत्र द्वारा दिया जाता है

• फेज मार्जिन : फेज मार्जिन निम्नलिखित सूत्र से गणना किया जा सकता है:

• मूल लोकस की सममिति : मूल लोकस x-अक्ष या वास्तविक अक्ष के सापेक्ष सममित होता है।

• मूल लोकस पर किसी बिंदु पर K का मान कैसे निर्धारित किया जाए? अब K के मान को निर्धारित करने के दो तरीके हैं, प्रत्येक तरीका नीचे वर्णित है।

• परिमाण मानदंड : मूल लोकस पर किसी भी बिंदु पर हम परिमाण मानदंड लागू कर सकते हैं, जैसे कि,

इस सूत्र का उपयोग करके हम किसी भी वांछित बिंदु पर K का मान गणना कर सकते हैं।

• मूल लोकस ग्राफ का उपयोग करके : मूल लोकस पर किसी s पर K का मान निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

मूल लोकस ग्राफ

मूल लोकस ग्राफ, इस तकनीक का एक अभिन्न भाग, एक प्रणाली की स्थिरता का मूल्यांकन करता है। K के मूल्यों को खोजकर, जो स्थिरता को बनाए रखते हैं, यह सुनिश्चित करता है कि प्रणाली विभिन्न परिस्थितियों में ऑप्टिमल रूप से कार्य करती है।

अब मूल लोकस का ग्राफ बनाने के लिए कुछ ऐसे परिणाम हैं जिन्हें याद रखना चाहिए। ये परिणाम नीचे लिखे गए हैं:

• मूल लोकस का अस्तित्व क्षेत्र : सभी ध्रुवों और शून्यों को तल पर ग्राफित करने के बाद, हम एक सरल नियम का उपयोग करके आसानी से मूल लोकस के अस्तित्व क्षेत्र को खोज सकते हैं, जो नीचे लिखा गया है,केवल वह खंड मूल लोकस बनाने में विचार किया जाएगा जिसके दाहिने हाथ की ओर खंड के ध्रुवों और शून्यों की कुल संख्या विषम है।

• अलग-अलग मूल लोकसों की संख्या कैसे गणना की जाए ? : अलग-अलग मूल लोकसों की संख्या ध्रुवों की कुल संख्या के बराबर होती है यदि ध्रुवों की संख्या शून्यों की संख्या से अधिक है, अन्यथा अलग-अलग मूल लोकसों की संख्या शून्यों की कुल संख्या के बराबर होती है यदि शून्यों की संख्या ध्रुवों की संख्या से अधिक है।

मूल लोकस ग्राफ बनाने की प्रक्रिया