Gráfico de Lugar de las Raíces en Sistemas de Control

Técnica de Lugar de las Raíces Definida

El lugar de las raíces en el sistema de control es un enfoque gráfico utilizado para analizar los efectos de la variación de los parámetros del sistema en la estabilidad y el rendimiento de un sistema de control.

Ventajas de la Técnica de Lugar de las Raíces

• La técnica de lugar de las raíces en el sistema de control es fácil de implementar en comparación con otros métodos.

• Con la ayuda del lugar de las raíces, podemos predecir fácilmente el rendimiento de todo el sistema.

• El lugar de las raíces proporciona una mejor manera de indicar los parámetros.

Este artículo utilizará con frecuencia términos específicos relacionados con la técnica de lugar de las raíces esenciales para comprender su aplicación.

• Ecuación Característica Relacionada con la Técnica de Lugar de las Raíces : 1 + G(s)H(s) = 0 se conoce como ecuación característica. Al diferenciar la ecuación característica y al igualar dk/ds a cero, podemos obtener los puntos de desprendimiento.

• Puntos de Desprendimiento : Supongamos que dos lugares de las raíces que comienzan desde un polo y se mueven en direcciones opuestas colisionan entre sí de tal manera que después de la colisión comienzan a moverse en diferentes direcciones de forma simétrica. O los puntos de desprendimiento en los cuales ocurren múltiples raíces de la ecuación característica 1 + G(s)H(s) = 0. El valor de K es máximo en los puntos donde las ramas del lugar de las raíces se desprenden. Los puntos de desprendimiento pueden ser reales, imaginarios o complejos.

• Punto de Entrada : La condición para que haya un punto de entrada en el diagrama se escribe a continuación: El lugar de las raíces debe estar presente entre dos ceros adyacentes en el eje real.

• Centro de Gravedad : También conocido como centroide, se define como el punto en el diagrama desde donde comienzan todas las asíntotas. Matemáticamente, se calcula mediante la diferencia de la suma de polos y ceros en la función de transferencia cuando se divide por la diferencia del número total de polos y el número total de ceros. El centro de gravedad siempre es real y se denota por σA.

Aquí, ‘N’ representa el número de polos, y ‘M’ denota el número de ceros en el sistema.

• Asíntotas del Lugar de las Raíces : Las asíntotas se originan desde el centro de gravedad o centroide y van al infinito a un ángulo definido. Las asíntotas proporcionan dirección al lugar de las raíces cuando se desprenden de los puntos de desprendimiento.

• Ángulo de las Asíntotas : Las asíntotas forman un ángulo con el eje real y este ángulo se puede calcular con la fórmula dada,

Donde, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)

N es el número total de polos

M es el número total de ceros.

• Ángulo de Llegada o Salida : Calculamos el ángulo de salida cuando existen polos complejos en el sistema. El ángulo de salida se puede calcular como 180-{(suma de ángulos a un polo complejo desde los otros polos)-(suma de ángulos a un polo complejo desde los ceros)}.

• Intersección del Lugar de las Raíces con el Eje Imaginario : Para encontrar el punto de intersección del lugar de las raíces con el eje imaginario, debemos usar el criterio de Routh-Hurwitz. Primero, encontramos la ecuación auxiliar, luego el valor correspondiente de K dará el valor del punto de intersección.

• Margen de Ganancia : Definimos el margen de ganancia por el cual el valor de diseño del factor de ganancia puede multiplicarse antes de que el sistema se vuelva inestable. Matemáticamente, se da por la fórmula

• Margen de Fase : El margen de fase se puede calcular con la fórmula dada:

• Simetría del Lugar de las Raíces : El lugar de las raíces es simétrico respecto al eje x o el eje real.

• ¿Cómo determinar el valor de K en cualquier punto del lugar de las raíces? Ahora hay dos maneras de determinar el valor de K, cada una se describe a continuación.

• Criterio de Magnitud : En cualquier punto del lugar de las raíces, podemos aplicar el criterio de magnitud como,

Usando esta fórmula, podemos calcular el valor de K en cualquier punto deseado.

• Usando el Diagrama de Lugar de las Raíces : El valor de K en cualquier s del lugar de las raíces se da por

Diagrama de Lugar de las Raíces

El diagrama de lugar de las raíces, parte integral de esta técnica, evalúa la estabilidad de un sistema. Al encontrar los valores de 'K' que mantienen la estabilidad, asegura que el sistema funcione de manera óptima bajo diversas condiciones.

Ahora hay algunos resultados que uno debe recordar para trazar el lugar de las raíces. Estos resultados se escriben a continuación:

• Región donde existe el lugar de las raíces : Después de trazar todos los polos y ceros en el plano, podemos encontrar fácilmente la región de existencia del lugar de las raíces utilizando una regla simple que se escribe a continuación,Solo se considerará ese segmento para hacer el lugar de las raíces si el número total de polos y ceros a la derecha del segmento es impar.

• ¿Cómo calcular el número de lugares de las raíces separados ? : El número de lugares de las raíces separados es igual al número total de raíces si el número de raíces es mayor que el número de polos, de lo contrario, el número de lugares de las raíces separados es igual al número total de polos si el número de raíces es mayor que el número de ceros.

Procedimiento para Trazar el Lugar de las Raíces

Teniendo en cuenta todos estos puntos, somos capaces de dibujar el diagrama de lugar de las raíces para cualquier tipo de sistema. Ahora, discutamos el procedimiento para hacer un lugar de las raíces.

• Encuentra todos los ceros y polos de la función de transferencia en bucle abierto y luego trázalos en el plano complejo.

• Todos los lugares de las raíces comienzan desde los polos donde k = 0 y terminan en los ceros donde K tiende a infinito. El número de ramas que terminan en infinito es igual a la diferencia entre el número de polos y el número de ceros de G(s)H(s).

• Encuentra la región de existencia de los lugares de las raíces con el método descrito anteriormente después de encontrar los valores de M y N.

• Calcula los puntos de desprendimiento y los puntos de entrada si los hay.

• Dibuja las asíntotas y el punto de centroide en el plano complejo para los lugares de las raíces calculando la pendiente de las asíntotas.

• Ahora, calcula el ángulo de salida y la intersección de los lugares de las raíces con el eje imaginario.

• Ahora, determina el valor de K usando cualquiera de los métodos que he descrito anteriormente.

Siguiendo el procedimiento anterior, puedes dibujar fácilmente el diagrama de lugar de las raíces para cualquier función de transferencia en bucle abierto.

• Calcula el margen de ganancia.

• Calcula el margen de fase.

• Puedes comentar fácilmente sobre la estabilidad del sistema usando el arreglo de Routh.