Korenski lok v sistemih regulacije

Definicija tehnike korennega lokusa

Koreni lokus v sistemih regulacije je grafična metoda, uporabljena za analizo učinkov spreminjanja parametrov sistema na stabilnost in delovanje sistema regulacije.

Prednosti tehnike korennega lokusa

• Tehnika korennega lokusa v sistemih regulacije je lažje izvedljiva v primerjavi z drugimi metodami.

• S pomočjo korenega lokusa lahko enostavno napovemo delovanje celotnega sistema.

• Koreni lokus ponuja boljši način za prikaz parametrov.

Ta članek bo pogosto uporabljal specifične termine, povezane s tehniko korennega lokusa, ki so ključni za razumevanje njegove uporabe.

• Značilna enačba, povezana s tehniko korennega lokusa : 1 + G(s)H(s) = 0 se imenuje značilna enačba. Če zdaj odvajamo značilno enačbo in enačimo dk/ds z nič, lahko dobimo točke preloma.

• Točke preloma : Predpostavimo, da dva korena lokusa, ki se začnejo na polu, se premikata v nasprotni smeri, stuknejo med seboj in po stiku začnejo premikati v različne smeri simetrično. Ali točke preloma, kjer se pojavijo večkratni koreni značilne enačbe 1 + G(s)H(s) = 0. Vrednost K je največja na točkah, kjer se grane korennega lokusa prelomijo. Točke preloma lahko so realne, imaginarno ali kompleksne.

• Točka preloma : Pogoj za točko preloma na grafu je naveden spodaj: Koreni lokus mora biti prisoten med dvema sosednjima ničlama na realni osi.

• Središče teže : Tudi znano kot centoid, je definirano kot točka na grafu, od koder se začnejo vse asimptote. Matematično se izračuna z razliko vsote polov in ničel v prenosni funkciji, ko je ta razlika deljena z razliko skupnega števila polov in skupnega števila ničel. Središče teže je vedno realno in se označuje z σA.

Tu 'N' predstavlja število polov, 'M' pa število ničel v sistemu.

• Asimptote korennih lokusov : Asimptota se začne v središču teže ali centroidu in gre v neskončnost pod določenim kotom. Asimptote dajejo smer korennemu lokusu, ko zapustijo točke preloma.

• Koti asimptot : Asimptote tvorijo nekot z realno osjo, ta kot pa se lahko izračuna s podano formulo,

Kjer je p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)

N je skupno število polov

M je skupno število ničel.

• Kot prihoda ali odhoda : Kot prihoda izračunavamo, ko obstajajo kompleksni poli v sistemu. Kot prihoda se lahko izračuna kot 180 - {(vsota kotov do kompleksnega pola od drugih polov) - (vsota kotov do kompleksnega pola od ničel)}.

• Presek korennega lokusa s imaginarno osjo : Za iskanje presečišča korennega lokusa s imaginarno osjo moramo uporabiti kriterij Routh-Hurwitz. Najprej izračunamo pomožno enačbo, nato pa nam ustrezna vrednost K daje vrednost presečišča.

• Margina pojačanja : Definiramo margino pojačanja, s katero lahko zmnožimo projektne vrednosti faktorja pojačanja, preden postane sistem nestabilen. Matematično jo podaja formula

• Fazna margina : Fazna margina se lahko izračuna s podano formulo:

• Simetrija korennega lokusa : Koreni lokus je simetričen glede na x-os ali realno os.

• Kako določiti vrednost K na poljubni točki na korennem lokusu? Obstajata dva načina določitve vrednosti K, vsak način je opisan spodaj.

• Merila za amplitudo : Na poljubnih točkah na korennem lokusu lahko uporabimo merila za amplitudo, kot sledi,

S to formulo lahko izračunamo vrednost K na poljuben želeni točki.

• Uporaba grafa korennega lokusa : Vrednost K na poljubnem s na korennem lokusu je dana z

Graf korennega lokusa

Graf korennega lokusa, ki je integralni del te tehnike, oceni stabilnost sistema. Z iskanjem vrednosti 'K', ki ohranjajo stabilnost, zagotavlja, da sistem optimalno deluje v različnih pogojih.

Zdaj so nekateri rezultati, ki jih je treba zapomniti, da bi narisali koreni lokus. Ti rezultati so navedeni spodaj:

• Območje, kjer koreni lokus obstaja : Po narisanih vseh polov in ničel na ravnini lahko enostavno izračunamo območje obstoja korennega lokusa z uporabo enostavnega pravila, ki je navedeno spodaj,Le ta segment bo upoštevan pri izdelavi korennega lokusa, če je skupno število polov in ničel desno od segmenta liho.

• Kako izračunati število ločenih korennih lokusov ? : Število ločenih korennih lokusov je enako skupnemu številu korenov, če je število korenov večje od števila polov, sicer je število ločenih korennih lokusov enako skupnemu številu polov, če je število korenov večje od števila ničel.

Postopek risanja korennega lokusa

Z upoštevanjem vseh teh točk smo sposobni narisati graf korennega lokusa za kakršen koli sistem. Sedaj bomo razpravili o postopku izdelave korennega lokusa.

• Iz odprte zanke prenosne funkcije poiščite vse korene in pole, nato jih narišite na kompleksni ravnini.

• Vsaki koreni lokus se začne pri polih, kjer je k = 0, in se konča pri ničlah, kjer K teži v neskončnost. Število vej, ki se končajo v neskončnosti, je enako razliki med številom polov in številom ničel G(s)H(s).

• Izračunajte območje obstoja korennih lokusov z metodo, opisano zgoraj, po izračunu vrednosti M in N.

• Izračunajte točke preloma in točke preloma, če obstajajo.

• Narišite asimptote in točko centroida na kompleksni ravnini za korene lokusov s izračunom nagiba asimptot.

• Zdaj izračunajte kot prihoda in presek korennih lokusov s imaginarno osjo.

• Zdaj določite vrednost K z uporabo katerega koli od metod, ki sem jih opisal zgoraj.

Sledenjem zgornjemu postopku lahko enostavno narišete graf korennega lokusa za poljubno odprto zanko prenosne funkcije.

• Izračunajte margino pojačanja.

• Izračunajte fazno margino.

• Lahko enostavno komentirate stabilnost sistema z uporabo matrike Routh.