Gráfico de Lugar das Raízes em Sistemas de Controle

Técnica de Lugar das Raízes Definida

O lugar das raízes em sistemas de controle é uma abordagem gráfica usada para analisar os efeitos da variação dos parâmetros do sistema na estabilidade e no desempenho de um sistema de controle.

Vantagens da Técnica de Lugar das Raízes

• A técnica de lugar das raízes em sistemas de controle é fácil de implementar em comparação com outros métodos.

• Com a ajuda do lugar das raízes, podemos facilmente prever o desempenho de todo o sistema.

• O lugar das raízes fornece uma melhor maneira de indicar os parâmetros.

Este artigo frequentemente utilizará termos específicos relacionados à técnica de lugar das raízes essenciais para entender sua aplicação.

• Equação Característica Relacionada à Técnica de Lugar das Raízes : 1 + G(s)H(s) = 0 é conhecida como equação característica. Agora, diferenciando a equação característica e igualando dk/ds a zero, podemos obter os pontos de separação.

• Pontos de Separação : Suponha que dois lugares de raízes que partem de um polo e se movem em direções opostas colidam entre si de tal forma que, após a colisão, eles comecem a se mover em diferentes direções de forma simétrica. Ou os pontos de separação em que múltiplas raízes da equação característica 1 + G(s)H(s) = 0 ocorrem. O valor de K é máximo nos pontos onde os ramos do lugar das raízes se separam. Os pontos de separação podem ser reais, imaginários ou complexos.

• Ponto de Entrada : A condição para haver um ponto de entrada no gráfico está escrita abaixo: O lugar das raízes deve estar presente entre dois zeros adjacentes no eixo real.

• Centro de Gravidade : Também conhecido como centroide e definido como o ponto no gráfico a partir do qual todas as assíntotas começam. Matematicamente, é calculado pela diferença da soma dos polos e zeros na função de transferência quando dividida pela diferença do número total de polos e do número total de zeros. O centro de gravidade é sempre real e é denotado por σA.

Aqui, ‘N’ representa o número de polos, e ‘M’ denota o número de zeros no sistema.

• Assíntotas do Lugar das Raízes : As assíntotas originam-se do centro de gravidade ou centroide e vão ao infinito em um ângulo definido. As assíntotas fornecem direção ao lugar das raízes quando elas se separam dos pontos de separação.

• Ângulo das Assíntotas : As assíntotas formam um ângulo com o eixo real, e este ângulo pode ser calculado a partir da fórmula dada,

Onde, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)

N é o número total de polos

M é o número total de zeros.

• Ângulo de Chegada ou Partida : Calculamos o ângulo de partida quando existem polos complexos no sistema. O ângulo de partida pode ser calculado como 180-{(soma dos ângulos a um polo complexo a partir dos outros polos)-(soma dos ângulos a um polo complexo a partir dos zeros)}.

• Interseção do Lugar das Raízes com o Eixo Imaginário : Para encontrar o ponto de interseção do lugar das raízes com o eixo imaginário, devemos usar o critério de Routh-Hurwitz. Primeiro, encontramos a equação auxiliar, então o valor correspondente de K dará o valor do ponto de interseção.

• Margem de Ganho : Definimos a margem de ganho pelo fator pelo qual o valor de design do fator de ganho pode ser multiplicado antes que o sistema se torne instável. Matematicamente, é dado pela fórmula

• Margem de Fase : A margem de fase pode ser calculada a partir da fórmula dada:

• Simetria do Lugar das Raízes : O lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo x ou ao eixo real.

• Como determinar o valor de K em qualquer ponto no lugar das raízes? Agora existem duas maneiras de determinar o valor de K, cada uma descrita abaixo.

• Critério de Magnitude : Em qualquer ponto no lugar das raízes, podemos aplicar o critério de magnitude como,

Usando esta fórmula, podemos calcular o valor de K em qualquer ponto desejado.

• Usando o Gráfico do Lugar das Raízes : O valor de K em qualquer s no lugar das raízes é dado por

Gráfico do Lugar das Raízes

O gráfico do lugar das raízes, parte integrante desta técnica, avalia a estabilidade de um sistema. Ao encontrar os valores de 'K' que mantêm a estabilidade, ele garante que o sistema funcione de forma otimizada sob várias condições.

Agora, existem alguns resultados que devem ser lembrados para traçar o lugar das raízes. Esses resultados estão escritos abaixo:

• Região onde o lugar das raízes existe : Após plotar todos os polos e zeros no plano, podemos facilmente encontrar a região de existência do lugar das raízes usando uma regra simples escrita abaixo,Somente aquele segmento será considerado na elaboração do lugar das raízes se o número total de polos e zeros à direita do segmento for ímpar.

• Como calcular o número de lugares das raízes separados ? : O número de lugares das raízes separados é igual ao número total de raízes se o número de raízes for maior que o número de polos, caso contrário, o número de lugares das raízes separados é igual ao número total de polos se o número de raízes for maior que o número de zeros.

Procedimento para Traçar o Lugar das Raízes

Lembrando todos esses pontos, somos capazes de desenhar o gráfico do lugar das raízes para qualquer tipo de sistema. Agora, vamos discutir o procedimento de fazer um lugar das raízes.

• Encontre todos os polos e zeros da função de transferência de malha aberta e, em seguida, plote-os no plano complexo.

• Todos os lugares das raízes começam nos polos onde k = 0 e terminam nos zeros onde K tende ao infinito. O número de ramos terminando no infinito é igual à diferença entre o número de polos & o número de zeros de G(s)H(s).

• Encontre a região de existência do lugar das raízes pelo método descrito acima, após encontrar os valores de M e N.

• Calcule os pontos de separação e os pontos de entrada, se houver.

• Plote as assíntotas e o ponto de centroide no plano complexo para o lugar das raízes, calculando a inclinação das assíntotas.

• Agora, calcule o ângulo de partida e a interseção do lugar das raízes com o eixo imaginário.

• Agora, determine o valor de K usando qualquer um dos métodos que descrevi acima.

Seguindo o procedimento acima, você pode facilmente desenhar o gráfico do lugar das raízes para qualquer função de transferência de malha aberta.

• Calcule a margem de ganho.

• Calcule a margem de fase.

• Você pode facilmente comentar sobre a estabilidade do sistema usando a matriz de Routh.