Kontrol Sistemlərində Kök Yer Qrafiki
Kök Locus Tekniğinin Tanımı
Kök locus kontrol sistemlerinde, sistemin parametrelerinin değişmesinin kontrol sisteminin istikrarı ve performansı üzerindeki etkilerini analiz etmek için kullanılan bir grafiksel yöntemdir.
Kök Locus Tekniğinin Avantajları
Kök locus tekniği, diğer yöntemlere kıyasla daha kolay uygulanabilir.
Kök locus yardımıyla, tüm sistemin performansını kolayca öngörebiliriz.
Kök locus, parametreleri göstermek için daha iyi bir yol sağlar.
Bu makale, kök locus tekniğiyle ilgili anlayış için temel olan belirli terimleri sıkça kullanacaktır.
Kök Locus Tekniği ile İlgili Karakteristik Denklem : 1 + G(s)H(s) = 0 ifadesi karakteristik denklem olarak bilinir. Şimdi bu karakteristik denklemi türetip dk/ds'yi sıfıra eşitlersek, ayrılma noktalarını bulabiliriz.
Ayrılma Noktaları : İki kök locus, poladan başlayıp zıt yönlere doğru hareket ederken birbirine çarpar ve çarpma sonrası farklı yönlerde simetrik olarak hareket etmeye başlar. Veya karakteristik denklem 1 + G(s)H(s) = 0'nın birden fazla kökü olduğu ayrılma noktalarıdır. Kök locus dallarının ayrıldığı noktalarda K değeri maksimum olur. Ayrılma noktaları gerçek, sanal veya karmaşık olabilir.
Giriş Noktası : Girişin olması gereken koşul aşağıda yazılır: Kök locus, reel eksen üzerinde iki ardışık sıfır arasında bulunmalıdır.
Ağırlık Merkezi : Ayrıca sentroid olarak da bilinir ve tüm asimptotların başladığı nokta olarak tanımlanır. Matematiksel olarak, aktarım fonksiyonundaki pol ve sıfırların toplamının farkı, toplam pol sayısının ve toplam sıfır sayısının farkına bölünerek hesaplanır. Ağırlık merkezi her zaman gerçek olup σA ile gösterilir.
Burada, 'N' pol sayısı, 'M' ise sistemin sıfır sayısını temsil eder.
Kök Locus Asimptotları : Asimptot, ağırlık merkezinden veya sentroidden başlayıp belirli bir açıyla sonsuza gider. Asimptotlar, ayrılma noktalarından ayrıldığında kök locusa yön verir.
Asimptotların Açıları : Asimptotlar, reel eksenle belirli bir açı yapar ve bu açı aşağıdaki formülle hesaplanabilir,
Burada, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)
N, toplam pol sayısıdır
M, toplam sıfır sayısıdır.
Gelişme veya Çıkış Açıları : Sistemin karmaşık polü varsa, çıkış açısını hesaplarız. Çıkış açısı, 180 - {(diğer polerden bir karmaşık pole olan açıların toplamı) - (sıfırlardan bir karmaşık pole olan açıların toplamı)} şeklinde hesaplanır.
Kök Locus'un Sanal Eksenle Kesişimi : Kök locus'un sanal eksenle kesişim noktasını bulmak için Routh Hurwitz kriterini kullanmalıyız. Önce yardımcı denklemi buluruz, sonra K'nın karşılık gelen değeri kesişim noktasının değerini verecektir.
Kazanç Marjı : Kazanç faktörünün tasarım değerinin ne kadar çarpılacağını belirleyerek sistemin kararsız hale gelmeden önce hangi değerde olduğunu tanımlarız. Matematiksel olarak, bu formülle verilir:
Faz Marjı : Faz marjı, aşağıdaki formülle hesaplanabilir:
Kök Locus'un Simetriği : Kök locus, x eksenine veya reel eksenine göre simetriktir.
Kök locus üzerinde herhangi bir noktadaki K değerini nasıl belirleriz? Şimdi K değerini belirlemenin iki yolu vardır, her bir yöntem aşağıda açıklanmıştır.
Büyüklük Kriteri : Kök locus üzerinde herhangi bir noktada büyüklük kriterini uygulayabiliriz,
Bu formülü kullanarak istediğiniz herhangi bir noktadaki K değerini hesaplayabilirsiniz.
Kök Locus Grafiğini Kullanarak : Kök locus üzerinde herhangi bir s'deki K değeri şununla verilir:
Kök Locus Grafiği
Kök locus grafiği, bu teknigin integral bir parçasıdır ve bir sistemin istikrarını değerlendirir. İstikrara devam eden 'K' değerlerini bularak, sistemin çeşitli koşullar altında en iyi şekilde çalışmasını sağlar.
Şimdi kök locus çizmek için bazı sonuçları hatırlamanız gerekmektedir. Bu sonuçlar aşağıda yazılmıştır:
Kök locus'un bulunduğu bölge : Tüm pol ve sıfırları düzlem üzerinde çizdikten sonra, aşağıdaki basit kuralı kullanarak kök locus'un bulunduğu bölgeyi kolayca bulabiliriz:Segmentin sağ tarafındaki pol ve sıfır sayısının toplamı tek sayı olduğunda, o segment kök locus oluşturmak için dikkate alınır.
Ayrı kök locuslarının sayısını nasıl hesaplarız ? : Ayrı kök locuslarının sayısı, kök sayısının pol sayısından büyük olduğu durumlarda toplam kök sayısına, aksi halde toplam pol sayısına eşittir.
Kök Locus Çizme Prosedürü
Tüm bu noktaları göz önünde bulundurarak, her türlü sistemin kök locus grafiğini çizmeyi öğrenebiliriz. Şimdi kök locus oluşturma prosedürünü tartışalım.
Açık döngü aktarım fonksiyonundan tüm kökleri ve poleri bulup, karmaşık düzlem üzerinde çiziniz.
Tüm kök locusları, K = 0 olduğunda polerden başlar ve K sonsuza yaklaştıkça sıfırlarda sona erer. G(s)H(s)'nin pol ve sıfır sayısının farkına eşit olan dal sayısı sonsuza doğru gider.
Yukarıda açıklanan yöntemle M ve N değerlerini bulduktan sonra, kök locusların bulunduğu bölgesi bulun.
Herhangi bir ayrılma ve giriş noktası hesaplayın.
Asimptotların eğimini hesaplayarak, kök locuslar için asimptotları ve ağırlık merkezini karmaşık düzlem üzerinde çiziniz.
Şimdi çıkış açısını ve kök locusların sanal eksenle kesişimini hesaplayın.
Yukarıda açıklanan herhangi bir yöntemle K değerini belirleyin.
Yukarıdaki prosedürü takip ederek, herhangi bir açık döngü aktarım fonksiyonunun kök locus grafiğini kolayca çizebilirsiniz.
Kazanç marjını hesaplayın.
Faz marjını hesaplayın.
Routh Dizisi kullanarak sistemin istikrarını kolayca değerlendirebilirsiniz.
