Wortelplekdiagram in Beheersysteme
Wortel Locus Tegniek Gedefinieer
Wortel locus in stuur sisteem is 'n grafiese benadering wat gebruik word om die effek van veranderende stelsel parameters op die stabiliteit en prestasie van 'n stuur sisteem te ontleed.
Voordelige van Wortel Locus Tegniek
Wortel locus tegniek in stuur sisteem is makliker om te implementeer as ander metodes.
Met die hulp van wortel locus kan ons maklik die prestasie van die hele sisteem voorspel.
Wortel locus verskaf 'n beter manier om die parameters aan te dui.
Hierdie artikel sal gereeld spesifieke terme gebruik wat verband hou met die wortel locus tegniek, wat noodsaaklik is om die toepassing daarvan te verstaan.
Karakteristieke Vergelyking Verwantskap tot Wortel Locus Tegniek : 1 + G(s)H(s) = 0 is bekend as karakteristieke vergelyking. Deur nou die karakteristieke vergelyking te differensieer en dk/ds gelyk te stel aan nul, kan ons breek weg punte kry.
Breek Weg Punte : Gestel twee wortel locus wat begin by 'n pool en beweeg in teenoorgestelde rigting botste met mekaar sodat na die botsing hulle begin beweeg in verskillende rigtings simmetries. Of breek weg punte waar by meervoudige wortels van die karakteristieke vergelyking 1 + G(s)H(s) = 0 voorkom. Die waarde van K is maksimaal by die punte waar die takke van wortel locus breek weg. Breek weg punte kan reëel, denkbeeldig of kompleks wees.
Breek In Punt : Die voorwaarde vir 'n breek in op die plot is hieronder geskryf: Wortel locus moet tussen twee opeenvolgende nule op die werklike as aanwezig wees.
Sentrum van Gravitasie : Dit word ook sentroïed genoem en word gedefinieer as die punt op die plot waarvan alle asimptote begin. Wiskundig bereken word dit deur die verskil van sommasie van pools en nules in die oorgangsfunksie, verdeel deur die verskil van totale aantal pools en totale aantal nules. Sentrum van gravitasie is altyd reëel en word aangedui deur σA.
Hier, 'N' verteenwoordig die aantal pools, en 'M' dui die aantal nules in die sisteem aan.
Asimptote van Wortel Loci : Asimptote ontstaan vanuit die sentrum van gravitasie of sentroïed en gaan oneindig teen 'n bepaalde hoek. Asimptote gee rigting aan die wortel locus wanneer hulle breek weg punte verlaat.
Hoek van Asimptote : Asimptote maak 'n hoek met die werklike as en hierdie hoek kan bereken word uit die gegewe formule,
Waar, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)
N is die totale aantal pools
M is die totale aantal nules.
Aankoms- of Vertrekshoek : Ons bereken die vertrekshoek wanneer daar komplekse pools in die sisteem bestaan. Die vertrekshoek kan bereken word as 180-{(som van hoeke na 'n komplekse pool vanaf die ander pools)-(som van hoeke na 'n komplekse pool vanaf die nules)}.
Snyding van Wortel Locus met die Denkbeeldige As : Om die snydingspunt van wortel locus met die denkbeeldige as te vind, moet ons die Routh Hurwitz kriterium gebruik. Eerstens vind ons die hulpvergelyking dan die ooreenkomstige waarde van K sal die waarde van die snydingspunt gee.
Versterkingsmarge : Ons definieer versterkingsmarge deur die ontwerpwaarde van die versterkingsfaktor waarmee die sisteem onstabiel word. Wiskundig word dit gegee deur die formule
Fase Marge : Fase marge kan bereken word uit die gegewe formule:
Simmetrie van Wortel Locus : Wortel locus is simmetries ten opsigte van die x-as of die werklike as.
Hoe om die waarde van K by enige punt op die wortel locus te bepaal? Daar is twee maniere om die waarde van K te bepaal, elke manier word hieronder beskryf.
Magnitude Kriteria : By enige punte op die wortel locus kan ons magnitude kriteria toepas as,
Deur gebruik te maak van hierdie formule kan ons die waarde van K by enige gewenste punt bereken.
Gebuik Maak van Wortel Locus Plot : Die waarde van K by enige s op die wortel locus word gegee deur
Wortel Locus Plot
Die wortel locus plot, 'n integrale deel van hierdie tegniek, evalueer 'n sisteem se stabiliteit. Deur die waardes van 'K' te vind wat stabiliteit handhaaf, verseker dit dat die sisteem onder verskillende toestande optimaal presteer.
Daar is sekere resultate wat iemand moet onthou om die wortel locus te teken. Hierdie resultate is hieronder geskryf:
Streek waar wortel locus bestaan : Na die tekening van alle pools en nules op die vlak, kan ons maklik die bestaansgebied van die wortel locus vind deur gebruik te maak van 'n eenvoudige reël wat hieronder geskryf is,Slegs daardie segment sal in ag geneem word in die vervaardiging van wortel locus indien die totale aantal pools en nules aan die regterkant van die segment onewe is.
Hoe om die aantal aparte wortel locus te bereken ? : Die aantal aparte wortel locus is gelyk aan die totale aantal wortels indien die aantal wortels groter is as die aantal pools, andersins is die aantal aparte wortel locus gelyk aan die totale aantal pools indien die aantal wortels groter is as die aantal nules.
Prosedure om Wortel Locus te Teken
Met al hierdie punte in gedagte, is ons in staat om die wortel locus plot te teken vir enige tipe sisteem. Laat ons nou die prosedure bespreek om 'n wortel locus te maak.
Vind al die wortels en pools van die oop lus oorgangsfunksie en teken hulle dan op die komplekse vlak.
Al die wortel locus begin by die pools waar k = 0 en eindig by die nules waar K neig na oneindigheid. Die aantal takke wat eindig by oneindigheid is gelyk aan die verskil tussen die aantal pools & aantal nules van G(s)H(s).
Vind die bestaansgebied van die wortel locus deur die metode hierbo nadat die waardes van M en N gevind is.
Bereken breek weg punte en breek in punte indien aanwesig.
Teken die asimptote en sentroïedpunt op die komplekse vlak vir die wortel locus deur die helling van die asimptote te bereken.
Bereken nou die vertrekshoek en die snyding van wortel locus met die denkbeeldige as.
Bepaal nou die waarde van K deur enige een van die metodes wat ek hierbo beskryf het.
Deur bovermelde prosedure te volg, kan jy maklik die wortel locus plot teken vir enige oop lus oorgangsfunksie.
Bereken die versterkingsmarge.
Bereken die fase marge.
Jy kan maklik kommentaar lewer oor die stabiliteit van die sisteem deur gebruik te maak van die Routh Array.
