แผนผังรากในระบบควบคุม

เทคนิคการวาดรูทลอคัส

รูทลอคัสในระบบควบคุมเป็นวิธีการทางกราฟิกที่ใช้วิเคราะห์ผลกระทบจากการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์ของระบบต่อความเสถียรและประสิทธิภาพของระบบควบคุม

ข้อดีของการใช้เทคนิครูทลอคัส

• เทคนิครูทลอคัสในระบบควบคุมมีความง่ายในการนำไปใช้เมื่อเทียบกับวิธีอื่นๆ

• ด้วยการใช้รูทลอคัส เราสามารถทำนายประสิทธิภาพของระบบได้ง่าย

• รูทลอคัสให้วิธีที่ดีกว่าในการแสดงพารามิเตอร์

บทความนี้จะใช้คำศัพท์เฉพาะเกี่ยวกับเทคนิครูทลอคัสอย่างบ่อยครั้งเพื่อให้เข้าใจการประยุกต์ใช้

• สมการลักษณะเฉพาะที่เกี่ยวข้องกับเทคนิครูทลอคัส : 1 + G(s)H(s) = 0 เป็นที่รู้จักกันว่าเป็นสมการลักษณะเฉพาะ ตอนนี้เมื่อเราทำการหาอนุพันธ์ของสมการลักษณะเฉพาะและกำหนดให้ dk/ds เท่ากับศูนย์ เราจะได้จุดที่แตกหัก (break away points)

• จุดที่แตกหัก (Break away Points) : สมมติว่ามีรูทลอคัสสองเส้นที่เริ่มจากโพลและเคลื่อนที่ไปในทิศทางตรงข้ามกันแล้วชนกัน หลังจากชนกันแล้วพวกมันจะเริ่มเคลื่อนที่ไปในทิศทางต่างๆ ในทางที่สมมาตร หรือจุดที่แตกหักซึ่งมีรากหลายรากของสมการลักษณะเฉพาะ 1 + G(s)H(s) = 0 ปรากฏขึ้น ค่า K มีค่าสูงสุดที่จุดที่กิ่งของรูทลอคัสแตกหัก จุดที่แตกหักอาจเป็นจริง จินตนาการ หรือซับซ้อน

• จุดที่เข้ามา (Break in Point) : เงื่อนไขสำหรับจุดที่เข้ามาบนแผนภาพเขียนไว้ด้านล่าง : รูทลอคัสต้องมีระหว่างศูนย์สองศูนย์ที่อยู่ติดกันบนแกนจริง

• ศูนย์กลางแรงโน้มถ่วง (Centre of Gravity) : ยังรู้จักกันว่าเป็นเซ็นโทรอยด์ และถูกกำหนดว่าเป็นจุดบนแผนภาพที่แอสิมปโทตเริ่มต้น ทางคณิตศาสตร์ คำนวณโดยผลต่างของผลรวมของโพลและศูนย์ในฟังก์ชันโอนผ่านเมื่อหารด้วยผลต่างของจำนวนโพลทั้งหมดและจำนวนศูนย์ทั้งหมด ศูนย์กลางแรงโน้มถ่วงเป็นจริงเสมอและถูกแทนด้วย σA

ที่นี่ 'N' แทนจำนวนโพล และ 'M' แทนจำนวนศูนย์ในระบบ

• แอสิมปโทตของรูทลอคัส : แอสิมปโทตเริ่มต้นจากศูนย์กลางแรงโน้มถ่วงหรือเซ็นโทรอยด์และไปสู่อนันต์ที่มุมที่แน่นอน แอสิมปโทตให้ทิศทางของรูทลอคัสเมื่อมันออกจากจุดที่แตกหัก

• มุมของแอสิมปโทต : แอสิมปโทตทำมุมกับแกนจริงและมุมนี้สามารถคำนวณได้จากสูตรด้านล่าง,

เมื่อ p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)

N คือจำนวนโพลทั้งหมด

M คือจำนวนศูนย์ทั้งหมด

• มุมของการเข้าหรือออก : เราคำนวณมุมของการออกเมื่อมีโพลเชิงซ้อนในระบบ มุมของการออกสามารถคำนวณได้เป็น 180 - {(ผลรวมของมุมจากโพลเชิงซ้อนไปยังโพลอื่นๆ) - (ผลรวมของมุมจากโพลเชิงซ้อนไปยังศูนย์)}

• การตัดกันของรูทลอคัสกับแกนจินตนาการ : เพื่อหาจุดที่รูทลอคัสตัดกับแกนจินตนาการ เราต้องใช้เกณฑ์ Routh Hurwitz ก่อน แล้วเราจะหาสมการเสริม จากนั้นค่า K ที่สอดคล้องจะให้ค่าของจุดที่ตัดกัน

• ระยะห่างการขยาย : เรากำหนดระยะห่างการขยายโดยค่าที่แฟกเตอร์การขยายสามารถคูณก่อนที่ระบบจะไม่เสถียร ทางคณิตศาสตร์ กำหนดโดยสูตร

• ระยะห่างเฟส : ระยะห่างเฟสสามารถคำนวณได้จากสูตรด้านล่าง:

• สมมาตรของรูทลอคัส : รูทลอคัสมีสมมาตรรอบแกน x หรือแกนจริง

• วิธีการกำหนดค่า K ที่จุดใดๆ บนรูทลอคัส ตอนนี้มีวิธีการสองวิธีในการกำหนดค่า K แต่ละวิธีอธิบายด้านล่าง

• เกณฑ์ขนาด : ที่จุดใดๆ บนรูทลอคัส เราสามารถใช้เกณฑ์ขนาดได้เป็น,

โดยใช้สูตรนี้ เราสามารถคำนวณค่า K ที่จุดที่ต้องการได้

• โดยใช้แผนภาพรูทลอคัส : ค่า K ที่จุด s ใดๆ บนรูทลอคัสกำหนดโดย

แผนภาพรูทลอคัส

แผนภาพรูทลอคัส ซึ่งเป็นส่วนสำคัญของเทคนิคนี้ ประเมินความเสถียรของระบบ โดยการหาค่า K ที่รักษาความเสถียร ทำให้ระบบทำงานได้อย่างเหมาะสมภายใต้สภาพแวดล้อมต่างๆ

ตอนนี้มีผลลัพธ์บางอย่างที่ควรจำไว้เพื่อวาดรูทลอคัส ผลลัพธ์เหล่านี้เขียนไว้ด้านล่าง:

• พื้นที่ที่รูทลอคัสมีอยู่ : หลังจากวาดรูปโพลและศูนย์ทั้งหมดบนระนาบ เราสามารถหาพื้นที่ที่รูทลอคัสมีอยู่ได้ง่ายๆ โดยใช้กฎง่ายๆ ดังนี้,เฉพาะส่วนที่มีจำนวนโพลและศูนย์ทางด้านขวาของส่วนนั้นเป็นเลขคี่เท่านั้นที่จะถูกพิจารณาในการวาดรูทลอคัส

• วิธีการคำนวณจำนวนรูทลอคัสแยกต่างหาก : จำนวนรูทลอคัสแยกต่างหากเท่ากับจำนวนรากทั้งหมดถ้าจำนวนรากมากกว่าจำนวนโพล หรือเท่ากับจำนวนโพลทั้งหมดถ้าจำนวนรากมากกว่าจำนวนศูนย์

ขั้นตอนในการวาดรูทลอคัส

ด้วยการจำไว้ทุกอย่างนี้ เราสามารถวาดแผนภาพรูทลอคัสสำหรับระบบใดๆ ได้ ตอนนี้มาพูดถึงขั้นตอนในการวาดรูทลอคัส

• หาทุกรากและโพลจากฟังก์ชันโอนผ่านวงจรเปิดแล้ววาดรูปบนระนาบเชิงซ้อน

• รูทลอคัสทั้งหมดเริ่มต้นจากโพลเมื่อ k = 0 และสิ้นสุดที่ศูนย์เมื่อ K เข้าใกล้อนันต์ จำนวนกิ่งที่สิ้นสุดที่อนันต์เท่ากับผลต่างระหว่างจำนวนโพลและจำนวนศูนย์ของ G(s)H(s)

• หาพื้นที่ที่รูทลอคัสมีอยู่จากวิธีที่อธิบายไว้ข้างต้นหลังจากหาค่า M และ N

• คำนวณจุดที่แตกหักและจุดที่เข้ามาถ้ามี

• วาดรูปแอสิมปโทตและจุดเซ็นโทรอยด์บนระนาบเชิงซ้อนสำหรับรูทลอคัสโดยคำนวณความชันของแอสิมปโทต

• ตอนนี้คำนวณมุมของการออกและการตัดกันของรูทลอคัสกับแกนจินตนาการ

• ตอนนี้กำหนดค่า K โดยใช้วิธีใดวิธีหนึ่งที่ผมได้อธิบายไว้ข้างต้น

โดยปฏิบัติตามขั้นตอนดังกล่าว คุณสามารถวาดแผนภาพรูทลอคัสสำหรับฟังก์ชันโอนผ่านวงจรเปิดใดๆ ได้อย่างง่ายดาย

• คำนวณระยะห่างการขยาย

• คำนวณระยะห่างเฟส

• คุณสามารถแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับความเสถียรของระบบโดยใช้ตาราง Routh