نمودار مکان هندسی ریشه در سیستم‌های کنترل

تعریف روش مکان هندسی ریشه‌ها

مکان هندسی ریشه‌ها در سیستم کنترل یک رویکرد گرافیکی است که برای تحلیل اثرات تغییر پارامترهای سیستم بر پایداری و عملکرد یک سیستم کنترلی استفاده می‌شود.

مزایای روش مکان هندسی ریشه‌ها

• روش مکان هندسی ریشه‌ها در سیستم کنترل نسبت به روش‌های دیگر راحت‌تر قابل اجراء است.

• با کمک مکان هندسی ریشه‌ها می‌توان به راحتی عملکرد کل سیستم را پیش‌بینی کرد.

• مکان هندسی ریشه‌ها روش بهتری برای نشان دادن پارامترها فراهم می‌کند.

این مقاله به طور مکرر از شرایط خاص مرتبط با روش مکان هندسی ریشه‌ها استفاده خواهد کرد که برای درک کاربرد آن ضروری است.

• معادله مشخصه مربوط به روش مکان هندسی ریشه‌ها : 1 + G(s)H(s) = 0 به عنوان معادله مشخصه شناخته می‌شود. حالا با مشتق گرفتن از معادله مشخصه و برابر قرار دادن dk/ds با صفر، می‌توان نقاط جدا شدن را یافت.

• نقاط جدا شدن : فرض کنید دو مکان هندسی ریشه‌ای که از قطب شروع می‌شوند و در جهات مخالف حرکت می‌کنند با یکدیگر برخورد می‌کنند به طوری که پس از برخورد آن‌ها به طرق متقارن شروع به حرکت در جهات مختلف می‌کنند. یا نقاط جدا شدن که در آن‌ها ریشه‌های چندگانه معادله مشخصه 1 + G(s)H(s) = 0 رخ می‌دهد. مقدار K در نقاطی که شاخه‌های مکان هندسی ریشه‌ها جدا می‌شوند بیشترین مقدار را دارد. نقاط جدا شدن می‌توانند حقیقی، موهومی یا مختلط باشند.

• نقاط ورود : شرایط وجود ورود در نمودار زیر نوشته شده است: مکان هندسی ریشه‌ها باید بین دو صفر مجاور روی محور حقیقی موجود باشد.

• مرکز ثقل : این نقطه همچنین به عنوان مرکز ثقل شناخته می‌شود و به عنوان نقطه‌ای در نمودار تعریف می‌شود که از آن تمام خطوط مجانب شروع می‌شوند. ریاضیاً، این نقطه با تفاوت مجموع قطب‌ها و صفرها در تابع انتقال وقتی تقسیم بر تفاوت تعداد کل قطب‌ها و تعداد کل صفرها شود محاسبه می‌شود. مرکز ثقل همیشه حقیقی است و با σA نشان داده می‌شود.

در اینجا، 'N' نشان‌دهنده تعداد قطب‌ها و 'M' نشان‌دهنده تعداد صفرها در سیستم است.

• خط‌های مجانب مکان هندسی ریشه‌ها : خط مجانب از مرکز ثقل یا مرکز گرانی شروع شده و به بینهایت با زاویه مشخص می‌رود. خط‌های مجانب جهت مکان هندسی ریشه‌ها را وقتی از نقاط جدا شدن جدا می‌شوند مشخص می‌کنند.

• زاویه خط‌های مجانب : خط‌های مجانب با محور حقیقی زاویه‌ای تشکیل می‌دهند و این زاویه با استفاده از فرمول زیر محاسبه می‌شود،

که در آن p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)

N تعداد کل قطب‌ها است

M تعداد کل صفرها است.

• زاویه ورود یا خروج : زمانی که قطب‌های مختلط در سیستم وجود دارند، زاویه خروج را محاسبه می‌کنیم. زاویه خروج به صورت 180-{(مجموع زاویه‌هایی که از قطب‌های دیگر به یک قطب مختلط می‌رسند)-(مجموع زاویه‌هایی که از صفرها به یک قطب مختلط می‌رسند)} محاسبه می‌شود.

• تقاطع مکان هندسی ریشه‌ها با محور موهومی : برای یافتن نقطه تقاطع مکان هندسی ریشه‌ها با محور موهومی، باید از معیار رات-هرویتز استفاده کنیم. ابتدا معادله کمکی را پیدا می‌کنیم و سپس مقدار متناظر K نقطه تقاطع را مشخص می‌کند.

• حاشیه‌ی کسب : ما حاشیه‌ی کسب را به عنوان مقداری تعریف می‌کنیم که مقدار طراحی شده عامل کسب را می‌توان در آن ضرب کرد تا قبل از اینکه سیستم ناپایدار شود. ریاضیاً این مقدار با استفاده از فرمول زیر محاسبه می‌شود

• حاشیه‌ی فاز : حاشیه‌ی فاز را می‌توان با استفاده از فرمول زیر محاسبه کرد:

• تقارن مکان هندسی ریشه‌ها : مکان هندسی ریشه‌ها نسبت به محور x یا محور حقیقی متقارن است.

• چگونه مقدار K را در هر نقطه‌ای از مکان هندسی ریشه‌ها تعیین کنیم؟ حالا دو روش برای تعیین مقدار K وجود دارد، هر روش در زیر توضیح داده شده است.

• معیار اندازه : در هر نقطه‌ای از مکان هندسی ریشه‌ها می‌توان معیار اندازه را به صورت زیر اعمال کرد،

با استفاده از این فرمول می‌توان مقدار K را در هر نقطه‌ای مورد نظر محاسبه کرد.

• استفاده از نمودار مکان هندسی ریشه‌ها : مقدار K در هر s روی مکان هندسی ریشه‌ها به صورت زیر محاسبه می‌شود

نمودار مکان هندسی ریشه‌ها

نمودار مکان هندسی ریشه‌ها، بخش اساسی این تکنیک است که پایداری یک سیستم را ارزیابی می‌کند. با یافتن مقادیر 'K' که پایداری را حفظ می‌کنند، اطمینان می‌دهد که سیستم تحت شرایط مختلف بهینه عمل می‌کند.

حالا برخی نتایج وجود دارد که باید به خاطر داشته باشید تا نمودار مکان هندسی ریشه‌ها را رسم کنید. این نتایج در زیر نوشته شده‌اند:

• منطقه‌ای که مکان هندسی ریشه‌ها در آن وجود دارد : بعد از رسم تمام قطب‌ها و صفرها روی صفحه مختلط، می‌توان به راحتی منطقه وجود مکان هندسی ریشه‌ها را با استفاده از یک قاعده ساده که در زیر نوشته شده است یافت،فقط آن بخشی در تهیه مکان هندسی ریشه‌ها در نظر گرفته می‌شود که تعداد کل قطب‌ها و صفرها در سمت راست آن بخش فرد باشد.

• چگونه تعداد مکان هندسی‌های جداگانه را محاسبه کنیم؟ : تعداد مکان هندسی‌های جداگانه برابر با تعداد کل ریشه‌ها است اگر تعداد ریشه‌ها بیشتر از تعداد قطب‌ها باشد، در غیر این صورت تعداد مکان هندسی‌های جداگانه برابر با تعداد کل قطب‌ها است اگر تعداد ریشه‌ها بیشتر از تعداد صفرها باشد.

روند رسم مکان هندسی ریشه‌ها

با در نظر گرفتن همه این نکات، قادر خواهیم بود نمودار مکان هندسی ریشه‌ها را برای هر نوع سیستمی رسم کنیم. حالا بیایید روند تهیه مکان هندسی ریشه‌ها را بحث کنیم.

• تمام ریشه‌ها و قطب‌ها را از تابع انتقال حلقه باز پیدا کنید و آن‌ها را روی صفحه مختلط رسم کنید.

• تمام مکان هندسی‌های ریشه‌ها از قطب‌ها شروع می‌شوند که k = 0 است و در صفرها به پایان می‌رسند که K به بینهایت میل می‌کند. تعداد شاخه‌هایی که در بینهایت پایان می‌یابند برابر با تفاوت تعداد قطب‌ها و تعداد صفرهای G(s)H(s) است.

• منطقه وجود مکان هندسی ریشه‌ها را با استفاده از روشی که بالا توضیح داده شد پس از یافتن مقادیر M و N پیدا کنید.

• نقاط جدا شدن و ورود را اگر وجود دارند محاسبه کنید.

• خط‌های مجانب و نقطه مرکز ثقل را روی صفحه مختلط برای مکان هندسی ریشه‌ها با محاسبه شیب خط‌های مجانب رسم کنید.

• حالا زاویه خروج و تقاطع مکان هندسی ریشه‌ها با محور موهومی را محاسبه کنید.

• حالا مقدار K را با استفاده از یکی از روش‌هایی که بالا توضیح داده شد محاسبه کنید.

با دنبال کردن روند فوق می‌توانید به راحتی نمودار مکان هندسی ریشه‌ها را برای هر تابع انتقال حلقه بازی رسم کنید.

• حاشیه‌ی کسب را محاسبه کنید.

• حاشیه‌ی فاز را محاسبه کنید.

• می‌توانید به راحتی با استفاده از آرایه رات نظریه درباره پایداری سیستم بدهید.