নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থায় Root Locus Plot
মূল লোকাস প্রযুক্তির সংজ্ঞা
নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থায় মূল লোকাস হল একটি গ্রাফিক পদ্ধতি যা ব্যবহৃত হয় ব্যবস্থার প্যারামিটার পরিবর্তনের প্রভাব বিশ্লেষণ করতে এবং নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থার স্থিতিশীলতা ও পারফরম্যান্স নির্ধারণ করতে।
মূল লোকাস প্রযুক্তির সুবিধাগুলি
নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থায় মূল লোকাস প্রযুক্তি অন্যান্য পদ্ধতিগুলির তুলনায় বাস্তবায়ন করা সহজ।
মূল লোকাসের সাহায্যে আমরা সমগ্র ব্যবস্থার পারফরম্যান্স সহজেই পূর্বাভাস করতে পারি।
মূল লোকাস প্যারামিটারগুলি নির্দেশ করার জন্য একটি উত্তম পথ প্রদান করে।
এই নিবন্ধে মূল লোকাস প্রযুক্তির ব্যবহার বোঝার জন্য প্রয়োজনীয় নির্দিষ্ট পরিভাষাগুলি প্রায়শই ব্যবহার করা হবে।
মূল লোকাস প্রযুক্তি সংশ্লিষ্ট বৈশিষ্ট্য সমীকরণ : 1 + G(s)H(s) = 0 হল বৈশিষ্ট্য সমীকরণ। এখন বৈশিষ্ট্য সমীকরণকে অন্তরীকরণ করে এবং dk/ds এর মান শূন্য সমান করে, আমরা ব্রেক অ্যাওয়ে পয়েন্ট পেতে পারি।
ব্রেক অ্যাওয়ে পয়েন্ট : ধরা যাক দুটি মূল লোকাস যা পোল থেকে শুরু হয় এবং বিপরীত দিকে চলে যায় এবং পরে সংঘর্ষ হওয়ার পর তারা বিভিন্ন দিকে সুষমভাবে চলতে থাকে। বা বৈশিষ্ট্য সমীকরণ 1 + G(s)H(s) = 0 এর বহু মূল যেখানে ঘটে তাকে ব্রেক অ্যাওয়ে পয়েন্ট বলা হয়। মূল লোকাসের শাখাগুলি যেখানে বিচ্ছিন্ন হয় সেখানে K এর মান সর্বাধিক। ব্রেক অ্যাওয়ে পয়েন্ট বাস্তব, কাল্পনিক বা জটিল হতে পারে।
ব্রেক ইন পয়েন্ট : প্লটে ব্রেক ইন থাকার শর্ত নিম্নে লিখিত হল: মূল লোকাস বাস্তব অক্ষের দুটি সন্নিহিত শূন্যের মধ্যে থাকা উচিত।
কেন্দ্রবিন্দু : এটি সেন্ট্রয়েড নামেও পরিচিত এবং এটি প্লটের এমন একটি বিন্দু যা থেকে সব অ্যাসিম্পটোট শুরু হয়। গাণিতিকভাবে, এটি ট্রান্সফার ফাংশনে পোল এবং শূন্যের সমষ্টির পার্থক্য এবং পোল এবং শূন্যের মোট সংখ্যার পার্থক্য দ্বারা বিভক্ত হয়। কেন্দ্রবিন্দু সর্বদা বাস্তব এবং এটি σA দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
এখানে, 'N' পোলের সংখ্যা এবং 'M' শূন্যের সংখ্যা নির্দেশ করে।
মূল লোকাসের অ্যাসিম্পটোট : অ্যাসিম্পটোট কেন্দ্রবিন্দু বা সেন্ট্রয়েড থেকে উৎপন্ন হয় এবং নির্দিষ্ট কোণে অসীম পর্যন্ত যায়। অ্যাসিম্পটোট ব্রেক অ্যাওয়ে পয়েন্ট থেকে প্রস্থান করার সময় মূল লোকাসে দিক প্রদান করে।
অ্যাসিম্পটোটের কোণ : অ্যাসিম্পটোট বাস্তব অক্ষের সাথে কিছু কোণ তৈরি করে এবং এই কোণ নিম্নলিখিত সূত্র থেকে গণনা করা যায়,
যেখানে, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)
N হল পোলের মোট সংখ্যা
M হল শূন্যের মোট সংখ্যা।
আগমন বা প্রস্থানের কোণ : যখন ব্যবস্থায় জটিল পোল থাকে তখন আমরা আগমন বা প্রস্থানের কোণ গণনা করি। আগমন বা প্রস্থানের কোণ গণনা করা যায় 180-{(অন্য পোল থেকে জটিল পোলের কোণের সমষ্টি)-(শূন্য থেকে জটিল পোলের কোণের সমষ্টি)}।
মূল লোকাস এবং কাল্পনিক অক্ষের ছেদাংশ : মূল লোকাস এবং কাল্পনিক অক্ষের ছেদাংশ খুঁজতে আমাদের রাউথ হারউইটজ নিয়ম ব্যবহার করতে হবে। প্রথমে, আমরা অক্ষীয় সমীকরণ খুঁজি এবং তারপর K এর মান দিয়ে ছেদাংশের মান পাওয়া যায়।
গেইন মার্জিন : আমরা গেইন মার্জিন দিয়ে ব্যবস্থার অস্থিতিশীল হওয়ার আগে গেইন ফ্যাক্টরের ডিজাইন মান কতটা গুণ করা যায় তা সংজ্ঞায়িত করি। গাণিতিকভাবে এটি নিম্নলিখিত সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়
ফেজ মার্জিন : ফেজ মার্জিন নিম্নলিখিত সূত্র থেকে গণনা করা যায়:
মূল লোকাসের প্রতিসাম্য : মূল লোকাস x অক্ষ বা বাস্তব অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম।
মূল লোকাসের যেকোনো বিন্দুতে K এর মান নির্ধারণ করার পদ্ধতি কি? এখন K এর মান নির্ধারণের দুটি পদ্ধতি রয়েছে, প্রতিটি পদ্ধতি নিম্নে বর্ণিত হল।
মাত্রা মানদণ্ড : মূল লোকাসের যেকোনো বিন্দুতে আমরা মাত্রা মানদণ্ড প্রয়োগ করতে পারি যা হল,
এই সূত্র ব্যবহার করে আমরা যেকোনো প্রয়োজনীয় বিন্দুতে K এর মান গণনা করতে পারি।
মূল লোকাস প্লট ব্যবহার করে : মূল লোকাসের যেকোনো s বিন্দুতে K এর মান হল
মূল লোকাস প্লট
মূল লোকাস প্লট, এই প্রযুক্তির একটি অপরিহার্য অংশ, ব্যবস্থার স্থিতিশীলতা মূল্যায়ন করে। 'K' এর মান নির্ধারণ করে যা স্থিতিশীলতা রক্ষা করে, এটি বিভিন্ন পরিস্থিতিতে ব্যবস্থার অপটিমাল পারফরম্যান্স নিশ্চিত করে।
এখন মূল লোকাস প্লট করার জন্য কিছু ফলাফল মনে রাখা উচিত। এই ফলাফলগুলি নিম্নে লিখিত হল:
মূল লোকাসের অস্তিত্বের অঞ্চল : সমস্ত পোল এবং শূন্য প্লেনে প্লট করার পর, আমরা একটি সহজ নিয়ম ব্যবহার করে মূল লোকাসের অস্তিত্বের অঞ্চল সহজেই খুঁজে পেতে পারি, যা নিম্নে লিখিত হল,শাখাটি মূল লোকাস তৈরি করার জন্য বিবেচনাধীন হবে যদি শাখার ডান দিকে পোল এবং শূন্যের মোট সংখ্যা বিজোড় হয়।
মূল লোকাসের সংখ্যা কিভাবে গণনা করা যায়? : মূল লোকাসের সংখ্যা মূলের মোট সংখ্যার সমান হবে যদি মূলের সংখ্যা পোলের সংখ্যার চেয়ে বেশি হয়, অন্যথায় মূল লোকাসের সংখ্যা প
