Diagram Locus Akar dalam Sistem Kendali

Teknik Root Locus Didefinisikan

Root locus dalam sistem kontrol adalah pendekatan grafis yang digunakan untuk menganalisis efek dari variasi parameter sistem terhadap stabilitas dan kinerja sistem kontrol.

Keuntungan Teknik Root Locus

• Teknik root locus dalam sistem kontrol lebih mudah diterapkan dibandingkan dengan metode lainnya.

• Dengan bantuan root locus, kita dapat dengan mudah memprediksi kinerja seluruh sistem.

• Root locus memberikan cara yang lebih baik untuk menunjukkan parameter.

Artikel ini akan sering menggunakan istilah-istilah spesifik terkait teknik root locus yang penting untuk memahami penerapannya.

• Persamaan Karakteristik Terkait Teknik Root Locus : 1 + G(s)H(s) = 0 dikenal sebagai persamaan karakteristik. Sekarang, dengan mendiferensialkan persamaan karakteristik dan menyamakan dk/ds menjadi nol, kita dapat mendapatkan titik-titik break away.

• Titik Break Away : Misalkan dua root loci yang dimulai dari pole dan bergerak ke arah yang berlawanan bertabrakan satu sama lain sehingga setelah tabrakan mereka mulai bergerak ke arah yang berbeda secara simetris. Atau titik-titik break away di mana akar-akar ganda dari persamaan karakteristik 1 + G(s)H(s) = 0 terjadi. Nilai K maksimum pada titik-titik di mana cabang-cabang root loci break away. Titik-titik break away dapat berupa real, imajiner, atau kompleks.

• Titik Break In : Kondisi untuk adanya break in pada plot ditulis di bawah: Root locus harus ada antara dua zero yang bersebelahan pada sumbu real.

• Pusat Gravitasi : Juga dikenal sebagai centroid dan didefinisikan sebagai titik pada plot dari mana semua asimtot dimulai. Secara matematis, dihitung oleh perbedaan jumlah poles dan zeros dalam fungsi transfer ketika dibagi dengan perbedaan jumlah total poles dan jumlah total zeros. Pusat gravitasi selalu real dan dinotasikan dengan σA.

Di sini, 'N' mewakili jumlah poles, dan 'M' menandakan jumlah zeros dalam sistem.

• Asimtot dari Root Loci : Asimtot berasal dari pusat gravitasi atau centroid dan menuju tak hingga pada sudut tertentu. Asimtot memberikan arah kepada root locus ketika mereka meninggalkan titik-titik break away.

• Sudut Asimtot : Asimtot membuat beberapa sudut dengan sumbu real dan sudut ini dapat dihitung dari rumus yang diberikan,

Di mana, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)

N adalah jumlah total poles

M adalah jumlah total zeros.

• Sudut Kedatangan atau Keberangkatan : Kami menghitung sudut keberangkatan ketika ada poles kompleks dalam sistem. Sudut keberangkatan dapat dihitung sebagai 180-{(jumlah sudut ke poles kompleks dari poles lainnya)-(jumlah sudut ke poles kompleks dari zeros)}.

• Perpotongan Root Locus dengan Sumbu Imajiner : Untuk mengetahui titik perpotongan root locus dengan sumbu imajiner, kita harus menggunakan kriteria Routh Hurwitz. Pertama, kita temukan persamaan pembantu, maka nilai K yang sesuai akan memberikan nilai titik perpotongan.

• Margin Gain : Kami mendefinisikan margin gain sebagai faktor pengali nilai desain gain sebelum sistem menjadi tidak stabil. Secara matematis, diberikan oleh rumus

• Margin Fase : Margin fase dapat dihitung dari rumus yang diberikan:

• Simetri Root Locus : Root locus simetris terhadap sumbu x atau sumbu real.

• Bagaimana menentukan nilai K pada titik manapun di root loci? Ada dua cara untuk menentukan nilai K, masing-masing cara dijelaskan di bawah ini.

• Kriteria Magnitude : Pada titik manapun di root locus, kita dapat menerapkan kriteria magnitude sebagai,

Dengan menggunakan rumus ini, kita dapat menghitung nilai K pada titik yang diinginkan.

• Menggunakan Plot Root Locus : Nilai K pada s manapun di root locus diberikan oleh

Plot Root Locus

Plot root locus, bagian integral dari teknik ini, mengevaluasi stabilitas sistem. Dengan menemukan nilai-nilai 'K' yang mempertahankan stabilitas, ia memastikan sistem berkinerja optimal dalam berbagai kondisi.

Sekarang ada beberapa hasil yang harus diingat untuk membuat plot root locus. Hasil-hasil tersebut ditulis di bawah ini:

• Daerah di mana root locus ada : Setelah memplot semua poles dan zeros pada bidang, kita dapat dengan mudah mengetahui daerah keberadaan root locus dengan menggunakan aturan sederhana yang ditulis di bawah ini,Hanya segmen yang akan dipertimbangkan dalam membuat root locus jika jumlah total poles dan zeros di sebelah kanan segmen tersebut ganjil.

• Bagaimana menghitung jumlah root loci terpisah ? : Jumlah root loci terpisah sama dengan jumlah total roots jika jumlah roots lebih besar dari jumlah poles, jika tidak, jumlah root loci terpisah sama dengan jumlah total poles jika jumlah roots lebih besar dari jumlah zeros.

Prosedur Menggambar Root Locus

Dengan mempertimbangkan semua poin-poin ini, kita dapat menggambar plot root locus untuk jenis sistem apapun. Mari kita bahas prosedur membuat root locus.

• Temukan semua roots dan poles dari fungsi transfer loop terbuka, lalu plot mereka pada bidang kompleks.

• Semua root loci dimulai dari poles di mana k = 0 dan berakhir di zeros di mana K cenderung menuju tak hingga. Jumlah cabang yang berakhir di tak hingga sama dengan perbedaan antara jumlah poles & jumlah zeros dari G(s)H(s).

• Tentukan daerah keberadaan root loci dari metode yang dijelaskan di atas setelah menemukan nilai M dan N.

• Hitung titik-titik break away dan break in jika ada.

• Plot asimtot dan titik centroid pada bidang kompleks untuk root loci dengan menghitung kemiringan asimtot.

• Sekarang hitung sudut keberangkatan dan perpotongan root loci dengan sumbu imajiner.

• Sekarang tentukan nilai K dengan menggunakan salah satu metode yang saya jelaskan di atas.

Dengan mengikuti prosedur di atas, Anda dapat dengan mudah menggambar plot root locus untuk fungsi transfer loop terbuka apapun.

• Hitung margin gain.

• Hitung margin fase.

• Anda dapat dengan mudah berkomentar tentang stabilitas sistem dengan menggunakan Array Routh.