Diagrama de Lugar das Raíces en Sistemas de Control

Técnica do Lugar das Raíces Definida

O lugar das raíces no sistema de control é un enfoque gráfico usado para analizar os efectos da variación dos parámetros do sistema na estabilidade e rendemento dun sistema de control.

Ventajas da Técnica do Lugar das Raíces

• A técnica do lugar das raíces no sistema de control é fácil de implementar en comparación con outros métodos.

• Coa axuda do lugar das raíces podemos predecir facilmente o rendemento do sistema completo.

• O lugar das raíces ofrece unha mellor forma de indicar os parámetros.

Este artigo utilizará frecuentemente termos específicos relacionados coa técnica do lugar das raíces esenciais para entender a súa aplicación.

• Ecuación Característica Relacionada coa Técnica do Lugar das Raíces : 1 + G(s)H(s) = 0 é coñecida como ecuación característica. Agora, ao diferenciar a ecuación característica e ao igualar dk/ds a cero, podemos obter os puntos de separación.

• Puntos de Separación : Supoñamos que dous lugares de raíces que comezan desde un polo e movéñanse en dirección oposta colidiron entre si de tal maneira que, despois da colisión, comezan a moverse en diferentes direccións de xeito simétrico. Ou os puntos de separación nos que ocorren múltiples raíces da ecuación característica 1 + G(s)H(s) = 0. O valor de K é máximo nos puntos onde as ramas do lugar das raíces se separan. Os puntos de separación poden ser reais, imaxinarios ou complexos.

• Punto de Entrada : A condición para que haxa un punto de entrada no diagrama está escrita a continuación: O lugar das raíces debe estar presente entre dous ceros adxacentes no eixe real.

• Centro de Gravedade : Tamén coñecido como centroide e definido como o punto no diagrama dende o que todas as asíntotas comezan. Matematicamente, calculase pola diferenza da suma de polos e ceros na función de transferencia cando se divide pola diferenza do número total de polos e o número total de ceros. O centro de gravedade é sempre real e denótase por σA.

Aquí, 'N' representa o número de polos, e 'M' denota o número de ceros no sistema.

• Asíntotas do Lugar das Raíces : As asíntotas orixinánse do centro de gravedade ou centroide e van ata o infinito nun ángulo definido. As asíntotas proporcionan dirección ao lugar das raíces cando se apartan dos puntos de separación.

• Ángulo das Asíntotas : As asíntotas forman algún ángulo co eixe real e este ángulo pode calcularse a partir da fórmula dada,

Onde, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)

N é o número total de polos

M é o número total de ceros.

• Ángulo de Llegada ou Salida : Calculamos o ángulo de salida cando existen polos complexos no sistema. O ángulo de salida pode calcularse como 180-{(suma de ángulos a un polo complexo dende os outros polos)-(suma de ángulos a un polo complexo dende os ceros)}.

• Intersección do Lugar das Raíces co Eixe Imaxinario : Para atopar o punto de intersección do lugar das raíces co eixe imaxinario, temos que usar o criterio de Routh-Hurwitz. Primeiro, atopamos a ecuación auxiliar e entón o valor correspondente de K dará o valor do punto de intersección.

• Margen de Ganancia : Definimos o margen de ganancia polo factor de ganancia de deseño que pode multiplicarse antes de que o sistema sexa inestable. Matematicamente dáse pola fórmula

• Margen de Fase : O margen de fase pode calcularse a partir da fórmula dada:

• Simetría do Lugar das Raíces : O lugar das raíces é simétrico respecto ao eixe x ou eixe real.

• Como determinar o valor de K en calquera punto do lugar das raíces? Agora hai dúas formas de determinar o valor de K, cada unha descrita a continuación.

• Criterio de Magnitude : En calquera punto do lugar das raíces podemos aplicar o criterio de magnitude como,

Usando esta fórmula podemos calcular o valor de K en calquera punto desexado.

• Usando o Diagrama do Lugar das Raíces : O valor de K en calquera s no lugar das raíces dáse por

Diagrama do Lugar das Raíces

O diagrama do lugar das raíces, parte integral desta técnica, avalía a estabilidade dun sistema. Ao atopar os valores de 'K' que mantén a estabilidade, asegura que o sistema se comporte de xeito óptimo baixo varias condicións.

Agora hai algunhas resultados que unha persoa debe lembrar para trazar o lugar das raíces. Estes resultados están escritos a continuación:

• Región onde existe o lugar das raíces : Despois de trazar todos os polos e ceros no plano, podemos atopar facilmente a rexión de existencia do lugar das raíces usando unha simple regra que está escrita a continuación,Só se considerará ese segmento para facer o lugar das raíces se o número total de polos e ceros á dereita do segmento é impar.

• Como calcular o número de lugares de raíces separados ? : O número de lugares de raíces separados é igual ao número total de raíces se o número de raíces é maior que o número de polos, caso contrario, o número de lugares de raíces separados é igual ao número total de polos se o número de raíces é maior que o número de ceros.

Procedemento para Trazar o Lugar das Raíces

Tenendo en conta todos estes puntos, somos capaces de trazar o diagrama do lugar das raíces para calquera tipo de sistema. Agora, vamos discutir o procedemento para facer un lugar das raíces.

• Atopar todos os raíces e polos da función de transferencia en bucle aberto e trazalos no plano complexo.

• Todos os lugares de raíces comezan dende os polos onde k = 0 e terminan nos ceros onde K tende a infinito. O número de ramas que terminan no infinito é igual á diferenza entre o número de polos & o número de ceros de G(s)H(s).

• Atopar a rexión de existencia do lugar das raíces polo método descrito arriba despois de atopar os valores de M e N.

• Calcular os puntos de separación e os puntos de entrada se existen.

• Trazar as asíntotas e o punto de centroide no plano complexo para o lugar das raíces calculando a pendente das asíntotas.

• Agora calcular o ángulo de salida e a intersección do lugar das raíces co eixe imaxinario.

• Agora determinar o valor de K usando calquera un dos métodos que describín arriba.

Seguindo o procedemento anterior, podes trazar facilmente o diagrama do lugar das raíces para calquera función de transferencia en bucle aberto.

• Calcular o margen de ganancia.

• Calcular o margen de fase.

• Podes comentar facilmente sobre a estabilidade do sistema usando a matriz de Routh.