Wurzelortskurve in Regelungssystemen

Definition der Wurzelortsmethode

Die Wurzelortsmethode in Regelungssystemen ist ein graphischer Ansatz, der verwendet wird, um die Auswirkungen variierender Systemparameter auf die Stabilität und Leistung eines Regelungssystems zu analysieren.

Vorteile der Wurzelortsmethode

• Die Wurzelortsmethode in Regelungssystemen ist im Vergleich zu anderen Methoden leichter umzusetzen.

• Mit Hilfe der Wurzelortsmethode können wir die Leistung des gesamten Systems leicht voraussagen.

• Die Wurzelortsmethode bietet eine bessere Möglichkeit, die Parameter anzuzeigen.

Dieser Artikel wird häufig spezifische Begriffe verwenden, die mit der Wurzelortsmethode in Zusammenhang stehen und für das Verständnis ihrer Anwendung essentiell sind.

• Charakteristische Gleichung in Bezug auf die Wurzelortsmethode : 1 + G(s)H(s) = 0 ist als charakteristische Gleichung bekannt. Durch Differenzieren dieser Gleichung und Gleichsetzen von dk/ds gleich Null können wir Abstiegsstellen ermitteln.

• Abstiegsstellen : Angenommen, zwei Wurzelorte, die von einem Pol ausgehen und sich in entgegengesetzte Richtungen bewegen, kollidieren miteinander, sodass sie nach der Kollision in symmetrischer Weise in verschiedene Richtungen weiterbewegen. Oder die Abstiegsstellen, an denen mehrfache Wurzeln der charakteristischen Gleichung 1 + G(s)H(s) = 0 auftreten. Der Wert von K ist maximal an den Punkten, an denen die Zweige der Wurzelorte abbrechen. Abstiegsstellen können reell, imaginär oder komplex sein.

• Einstiegspunkt : Die Bedingung für einen Einstiegspunkt auf dem Diagramm lautet: Die Wurzelorte müssen zwischen zwei benachbarten Nullstellen auf der reellen Achse liegen.

• Schwerpunkt : Er wird auch Zentroid genannt und definiert als der Punkt auf dem Diagramm, von dem aus alle Asymptoten beginnen. Mathematisch wird er berechnet, indem man die Differenz der Summe der Pole und Nullstellen in der Übertragungsfunktion durch die Differenz der Gesamtzahl der Pole und der Gesamtzahl der Nullstellen teilt. Der Schwerpunkt ist immer reell und wird mit σA bezeichnet.

Hierbei steht 'N' für die Anzahl der Pole und 'M' für die Anzahl der Nullstellen im System.

• Asymptoten der Wurzelorte : Asymptoten gehen vom Schwerpunkt oder Zentroid aus und streben im bestimmten Winkel gegen unendlich. Asymptoten geben die Richtung der Wurzelorte an, wenn sie Abstiegsstellen verlassen.

• Winkel der Asymptoten : Asymptoten bilden einen bestimmten Winkel mit der reellen Achse, der mit der folgenden Formel berechnet werden kann,

Dabei gilt p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)

N ist die Gesamtzahl der Pole

M ist die Gesamtzahl der Nullstellen.

• Ankommens- oder Abgangswinkel : Wir berechnen den Abgangswinkel, wenn es komplexe Pole im System gibt. Der Abgangswinkel kann berechnet werden als 180-{(Summe der Winkel zu einem komplexen Pol von den anderen Polen)-(Summe der Winkel zu einem komplexen Pol von den Nullstellen)}.

• Schnitt der Wurzelorte mit der imaginären Achse : Um den Schnittpunkt der Wurzelorte mit der imaginären Achse zu finden, müssen wir das Routh-Hurwitz-Kriterium verwenden. Zuerst finden wir die Hilfsgleichung, dann gibt der entsprechende Wert von K den Wert des Schnittpunkts.

• Verstärkungsreserve : Wir definieren die Verstärkungsreserve als den Faktor, um den der Entwurfswert des Verstärkungsfaktors multipliziert werden kann, bevor das System instabil wird. Mathematisch wird sie durch die folgende Formel gegeben:

• Phasenreserve : Die Phasenreserve kann mit der folgenden Formel berechnet werden:

• Symmetrie der Wurzelorte : Die Wurzelorte sind symmetrisch zur x-Achse oder zur reellen Achse.

• Wie bestimmt man den Wert von K an jedem Punkt der Wurzelorte? Es gibt zwei Möglichkeiten, den Wert von K zu bestimmen, die jeweils unten beschrieben sind.

• Betragskriterium : An jedem Punkt der Wurzelorte können wir das Betragskriterium anwenden, wie folgt:

Mit dieser Formel können wir den Wert von K an jedem gewünschten Punkt berechnen.

• Verwendung des Wurzelortdiagramms : Der Wert von K an jedem s auf den Wurzelorten ist gegeben durch

Wurzelortdiagramm

Das Wurzelortdiagramm, ein wesentlicher Bestandteil dieser Methode, dient dazu, die Stabilität eines Systems zu bewerten. Indem es die Werte von 'K' findet, die die Stabilität aufrechterhalten, stellt es sicher, dass das System unter verschiedenen Bedingungen optimal arbeitet.

Es gibt einige Ergebnisse, die man sich merken sollte, um das Wurzelortdiagramm zu erstellen. Diese Ergebnisse sind unten aufgeführt:

• Bereich, in dem die Wurzelorte existieren : Nachdem alle Pole und Nullstellen auf der Ebene eingetragen wurden, können wir den Bereich des Vorhandenseins der Wurzelorte leicht mit einer einfachen Regel finden, die unten beschrieben ist:Nur jenes Segment wird für die Erstellung der Wurzelorte berücksichtigt, wenn die Gesamtzahl der Pole und Nullstellen rechts von diesem Segment ungerade ist.

• Wie berechnet man die Anzahl der separaten Wurzelorte ? : Die Anzahl der separaten Wurzelorte entspricht der Gesamtzahl der Wurzeln, wenn die Anzahl der Wurzeln größer ist als die Anzahl der Pole, andernfalls entspricht die Anzahl der separaten Wurzelorte der Gesamtzahl der Pole, wenn die Anzahl der Wurzeln größer ist als die Anzahl der Nullstellen.

Verfahren zur Erstellung des Wurzelortdiagramms

Wenn man all diese Punkte beachtet, kann man das Wurzelortdiagramm für jedes beliebige System zeichnen. Nun besprechen wir das Verfahren zur Erstellung eines Wurzelortdiagramms.

• Finden Sie alle Wurzeln und Pole aus der offenen Übertragungsfunktion und tragen Sie sie in der komplexen Ebene ein.

• Alle Wurzelorte beginnen bei den Polen, wo k = 0, und enden bei den Nullstellen, wo K gegen unendlich strebt. Die Anzahl der Zweige, die bei Unendlich enden, entspricht der Differenz zwischen der Anzahl der Pole und der Anzahl der Nullstellen von G(s)H(s).

• Finden Sie den Bereich des Vorhandenseins der Wurzelorte mit der oben beschriebenen Methode, nachdem Sie die Werte von M und N ermittelt haben.

• Berechnen Sie Abstiegs- und Einstiegspunkte, falls vorhanden.

• Tragen Sie die Asymptoten und den Schwerpunkt in der komplexen Ebene für die Wurzelorte ein, indem Sie die Steigung der Asymptoten berechnen.

• Berechnen Sie nun den Abgangswinkel und den Schnittpunkt der Wurzelorte mit der imaginären Achse.

• Bestimmen Sie den Wert von K mit einer der oben beschriebenen Methoden.

Indem Sie das obige Verfahren befolgen, können Sie das Wurzelortdiagramm für jede beliebige offene Übertragungsfunktion leicht zeichnen.

• Berechnen Sie die Verstärkungsreserve.

• Berechnen Sie die Phasenreserve.

• Sie können die Stabilität des Systems leicht mit dem Routh-Array beurteilen.