Grafico del Locus delle Radici nei Sistemi di Controllo

Tecnica del Locus delle Radici Definita

Il locus delle radici in un sistema di controllo è un approccio grafico utilizzato per analizzare gli effetti della variazione dei parametri del sistema sulla stabilità e sulle prestazioni di un sistema di controllo.

Vantaggi della Tecnica del Locus delle Radici

• La tecnica del locus delle radici in un sistema di controllo è facile da implementare rispetto ad altri metodi.

• Con l'aiuto del locus delle radici possiamo facilmente prevedere le prestazioni dell'intero sistema.

• Il locus delle radici fornisce un modo migliore per indicare i parametri.

Questo articolo utilizzerà frequentemente termini specifici relativi alla tecnica del locus delle radici essenziali per comprendere la sua applicazione.

• Equazione Caratteristica Relativa alla Tecnica del Locus delle Radici : 1 + G(s)H(s) = 0 è nota come equazione caratteristica. Ora, differenziando l'equazione caratteristica e uguagliando dk/ds a zero, possiamo ottenere i punti di separazione.

• Punti di Separazione : Supponiamo che due loci delle radici, che partono da un polo e si muovono in direzioni opposte, collidano tra loro in modo tale che, dopo la collisione, inizino a muoversi in direzioni diverse in modo simmetrico. Oppure, i punti di separazione in cui si verificano radici multiple dell'equazione caratteristica 1 + G(s)H(s) = 0. Il valore di K è massimo nei punti in cui i rami del locus delle radici si separano. I punti di separazione possono essere reali, immaginari o complessi.

• Punto di Ingresso : La condizione per avere un punto di ingresso nel grafico è la seguente: il locus delle radici deve essere presente tra due zeri adiacenti sull'asse reale.

• Centro di Gravità : Conosciuto anche come centroide, è definito come il punto sul grafico da cui partono tutte le asintoti. Matematicamente, viene calcolato dalla differenza della somma dei poli e degli zeri nella funzione di trasferimento quando divisa per la differenza del numero totale di poli e del numero totale di zeri. Il centro di gravità è sempre reale e viene denotato da σA.

Qui, 'N' rappresenta il numero di poli, e 'M' indica il numero di zeri nel sistema.

• Asintoti del Locus delle Radici : Gli asintoti originano dal centro di gravità o centroide e vanno all'infinito ad un angolo definito. Gli asintoti forniscono una direzione al locus delle radici quando si allontanano dai punti di separazione.

• Angolo degli Asintoti : Gli asintoti formano un angolo con l'asse reale e questo angolo può essere calcolato dalla formula data,

Dove, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)

N è il numero totale di poli

M è il numero totale di zeri.

• Angolo di Arrivo o Partenza : Calcoliamo l'angolo di partenza quando esistono poli complessi nel sistema. L'angolo di partenza può essere calcolato come 180-{(somma degli angoli a un polo complesso dagli altri poli)-(somma degli angoli a un polo complesso dagli zeri)}.

• Intersezione del Locus delle Radici con l'Asse Immaginario : Per trovare il punto di intersezione del locus delle radici con l'asse immaginario, dobbiamo utilizzare il criterio di Routh-Hurwitz. Prima, troviamo l'equazione ausiliaria, poi il valore corrispondente di K darà il valore del punto di intersezione.

• Margine di Guadagno : Definiamo il margine di guadagno come il fattore per cui il valore di progettazione del fattore di guadagno può essere moltiplicato prima che il sistema diventi instabile. Matematicamente, è dato dalla formula

• Margine di Fase : Il margine di fase può essere calcolato dalla formula data:

• Simmetria del Locus delle Radici : Il locus delle radici è simmetrico rispetto all'asse x o all'asse reale.

• Come determinare il valore di K in qualsiasi punto del locus delle radici? Ora ci sono due modi per determinare il valore di K, ciascuno descritto di seguito.

• Criterio di Magnitudine : In qualsiasi punto del locus delle radici possiamo applicare il criterio di magnitudine come segue,

Utilizzando questa formula, possiamo calcolare il valore di K in qualsiasi punto desiderato.

• Utilizzo del Grafico del Locus delle Radici : Il valore di K in qualsiasi s del locus delle radici è dato da

Grafico del Locus delle Radici

Il grafico del locus delle radici, parte integrante di questa tecnica, valuta la stabilità di un sistema. Trovando i valori di 'K' che mantengono la stabilità, assicura che il sistema si comporti ottimalmente in varie condizioni.

Ora ci sono alcuni risultati che uno dovrebbe ricordare per tracciare il locus delle radici. Questi risultati sono elencati di seguito:

• Regione in cui esiste il locus delle radici : Dopo aver tracciato tutti i poli e gli zeri sul piano, possiamo facilmente trovare la regione di esistenza del locus delle radici utilizzando una semplice regola scritta di seguito,Solo quel segmento sarà considerato per tracciare il locus delle radici se il numero totale di poli e zeri a destra del segmento è dispari.

• Come calcolare il numero di loci delle radici separati ? : Il numero di loci delle radici separati è uguale al numero totale di radici se il numero di radici è maggiore del numero di poli, altrimenti il numero di loci delle radici separati è uguale al numero totale di poli se il numero di radici è maggiore del numero di zeri.

Procedura per Tracciare il Locus delle Radici

Tenendo presenti tutti questi punti, siamo in grado di disegnare il grafico del locus delle radici per qualsiasi tipo di sistema. Ora discutiamo la procedura per creare un locus delle radici.

• Trova tutti i poli e gli zeri dalla funzione di trasferimento a ciclo aperto e quindi tracciali sul piano complesso.

• Tutti i loci delle radici iniziano dai poli dove k = 0 e terminano negli zeri dove K tende all'infinito. Il numero di rami che terminano all'infinito è uguale alla differenza tra il numero di poli e il numero di zeri di G(s)H(s).

• Trova la regione di esistenza del locus delle radici dal metodo descritto sopra dopo aver trovato i valori di M e N.

• Calcola i punti di separazione e i punti di ingresso, se presenti.

• Traccia gli asintoti e il punto centrale sul piano complesso per il locus delle radici, calcolando la pendenza degli asintoti.

• Ora calcola l'angolo di partenza e l'intersezione del locus delle radici con l'asse immaginario.

• Ora determina il valore di K utilizzando uno dei metodi che ho descritto sopra.

Seguendo la procedura sopra, puoi facilmente disegnare il grafico del locus delle radici per qualsiasi funzione di trasferimento a ciclo aperto.

• Calcola il margine di guadagno.

• Calcola il margine di fase.

• Puoi facilmente commentare sulla stabilità del sistema utilizzando l'array di Routh.