Diagrama ng Root Locus sa mga Sistema ng Pagkontrol

Tinukoy ang Teknikang Root Locus

Ang root locus sa sistema ng kontrol ay isang grapikal na pamamaraan na ginagamit upang analizahin ang epekto ng pagbabago ng mga parametro ng sistema sa estabilidad at pagganap ng sistema ng kontrol.

Mga Advantages ng Teknikang Root Locus

• Mas madali ang implementasyon ng teknikang root locus sa sistema ng kontrol kumpara sa iba pang mga pamamaraan.

• Sa tulong ng root locus, maaari nating maluwag na iprognostika ang pagganap ng buong sistema.

• Ang root locus ay nagbibigay ng mas mahusay na paraan upang ipakita ang mga parameter.

Ang artikulong ito ay madalas maggamit ng mga tiyak na termino na may kaugnayan sa teknikang root locus na mahalaga para sa pag-unawa sa kanyang aplikasyon.

• Karakteristiko na Equation na May Kaugnayan sa Teknikang Root Locus : 1 + G(s)H(s) = 0 ay kilala bilang karakteristikong equation. Ngayon, sa pag-differentiate ng karakteristikong equation at sa pag-equate ng dk/ds na katumbas ng zero, maaari nating makuhang break away points.

• Break Away Points : Suposang may dalawang root loci na nagsisimula mula sa pole at lumilipad sa kabaligtarang direksyon, sumikip at bumangga sa isa't isa, at pagkatapos ng collision, sila ay nagsisimulang lumipad sa iba't ibang direksyon nang simetriko. O ang breakaway points kung saan ang multiple roots ng karakteristikong equation 1 + G(s)H(s) = 0 ay umuunlad. Ang halaga ng K ay maximum sa mga puntos kung saan ang mga sangay ng root loci ay bumabawi. Ang mga breakaway points maaaring real, imaginary o complex.

• Break In Point : Ang kondisyon para maging break in sa plot ay isinulat sa ibaba: Dapat nasa gitna ng dalawang adjacent zeros sa real axis ang root locus.

• Center of Gravity : Ito rin ay kilala bilang centroid at ito ay tinukoy bilang punto sa plot kung saan nagsisimula ang lahat ng asymptotes. Matematikal, ito ay nakalkula sa pamamagitan ng pagkakaiba ng summation ng poles at zeros sa transfer function kapag hinati ng pagkakaiba ng kabuuang bilang ng poles at kabuuang bilang ng zeros. Ang center of gravity ay laging real at ito ay ipinapakita ng σA.

Dito, ang 'N' ay kumakatawan sa bilang ng poles, at ang 'M' ay kumakatawan sa bilang ng zeros sa sistema.

• Asymptotes ng Root Loci : Ang asymptote ay nagsisimula mula sa center of gravity o centroid at tumutungo sa infinity sa tiyak na anggulo. Ang mga asymptotes ay nagbibigay ng direksyon sa root locus kapag sila ay bumabawi mula sa break away points.

• Anggulo ng Asymptotes : Ang asymptotes ay gumagawa ng ilang anggulo sa real axis at ang anggulo na ito ay maaaring ikalkula mula sa binigay na formula,

Kung saan, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)

N ang kabuuang bilang ng poles

M ang kabuuang bilang ng zeros.

• Anggulo ng Pagdating o Pagalis : Nagsasagawa tayo ng pagkalkula ng anggulo ng pagalis kapag may komplikadong poles sa sistema. Ang anggulo ng pagalis ay maaaring ikalkula bilang 180-{(sum ng mga anggulo patungo sa complex pole mula sa iba pang poles)-(sum ng anggulo patungo sa complex pole mula sa zeros)}.

• Interseksyon ng Root Locus sa Imaginary Axis : Upang matukoy ang punto ng interseksyon ng root locus sa imaginary axis, kailangan nating gamitin ang Routh Hurwitz criterion. Una, kailangan nating makuha ang auxiliary equation, at ang kinalabasan na halaga ng K ay magbibigay ng halaga ng punto ng interseksyon.

• Gain Margin : Inilalarawan namin ang gain margin bilang ang halaga ng design value ng gain factor na maaaring imultiply bago ang sistema maging unstable. Matematikal, ito ay ibinibigay ng formula

• Phase Margin : Ang phase margin ay maaaring ikalkula mula sa binigay na formula:

• Symmetry ng Root Locus : Ang root locus ay symmetric tungkol sa x axis o ang real axis.

• Paano matukoy ang halaga ng K sa anumang punto sa root loci? Ngayon, may dalawang paraan ng pagtukoy ng halaga ng K, at ang bawat paraan ay ilarawan sa ibaba.

• Magnitude Criteria : Sa anumang puntos sa root locus, maaari nating ilapat ang magnitude criteria bilang,

Gamit ang formula na ito, maaari nating ikalkula ang halaga ng K sa anumang nais na punto.

• Ginamit ang Root Locus Plot : Ang halaga ng K sa anumang s sa root locus ay ibinibigay ng

Root Locus Plot

Ang root locus plot, isang integral na bahagi ng teknikang ito, ay nag-assess ng estabilidad ng sistema. Sa pamamagitan ng paghahanap ng mga halaga ng 'K' na nagpapanatili ng estabilidad, ito ay sigurado na ang sistema ay gumagana nang optimal sa iba't ibang kondisyon.

Ngayon, may ilang resulta na dapat tandaan upang makuha ang root locus. Ang mga resulta na ito ay isinulat sa ibaba:

• Rehiyon kung saan umiiral ang root locus : Pagkatapos i-plot ang lahat ng poles at zeros sa plane, maaari nating maluwag na matukoy ang rehiyon ng pag-iral ng root locus sa pamamagitan ng isang simple na rule na isinulat sa ibaba,Ang segment lamang ay isasama sa paggawa ng root locus kung ang kabuuang bilang ng poles at zeros sa kanan ng segment ay odd.

• Paano ikalkula ang bilang ng hiwalay na root loci ? : Ang bilang ng hiwalay na root loci ay katumbas ng kabuuang bilang ng roots kung ang bilang ng roots ay mas marami kaysa sa bilang ng poles, kundi ang bilang ng hiwalay na root loci ay katumbas ng kabuuang bilang ng poles kung ang bilang ng roots ay mas marami kaysa sa bilang ng zeros.

Prosedura upang Makuhang Root Locus

Saanman ang mga puntos na ito sa isip, maaari tayong makuhang root locus plot para sa anumang uri ng sistema. Ngayon, ipag-usap natin ang proseso ng paggawa ng root locus.

• Tuklasin ang lahat ng mga ugat at poles mula sa open loop transfer function at pagkatapos i-plot sila sa complex plane.

• Lahat ng root loci nagsisimula mula sa poles kung saan k = 0 at natatapos sa zeros kung saan K tends to infinity. Ang bilang ng sangay na natatapos sa infinity ay katumbas ng pagkakaiba ng bilang ng poles & bilang ng zeros ng G(s)H(s).

• Tuklasin ang rehiyon ng pag-iral ng root loci mula sa paraan na inilarawan sa itaas pagkatapos makuhang halaga ng M at N.

• Ikalkula ang break away points at break in points kung mayroon.

• I-plot ang asymptotes at centroid point sa complex plane para sa root loci sa pamamagitan ng pagkalkula ng slope ng asymptotes.

• Ngayon, ikalkula ang anggulo ng pagalis at ang interseksyon ng root loci sa imaginary axis.

• Ngayon, tuklasin ang halaga ng K sa pamamagitan ng anumang isa sa mga paraan na inilarawan ko sa itaas.

Sa pamamagitan ng pag-follow sa proseso sa itaas, maaari kang maluwag na makuhang root locus plot para sa anumang open loop transfer function.

• Ikalkula ang gain margin.

• Ikalkula ang phase margin.

• Maaari kang maluwag na mag-comment sa estabilidad ng sistema sa pamamagitan ng Routh Array.