Rotlokaliseringsplot i styresystemer

Rotlocusteknik definert

Rotlokus i styresystem er en grafisk metode som brukes for å analysere effektene av varierte systemparametre på stabiliteten og ytelsen til et styresystem.

Fordeler med rotlocusteknikk

• Rotlocusteknikken i styresystemer er enklere å implementere sammenlignet med andre metoder.

• Med hjelp av rotlokus kan vi lett forutsi ytelsen av hele systemet.

• Rotlokus gir en bedre måte å indikere parametrene på.

Denne artikkelen vil ofte bruke spesifikke termer relatert til rotlocusteknikken, som er nødvendige for å forstå dens anvendelse.

• Karakteristisk ligning relatert til rotlocusteknikk : 1 + G(s)H(s) = 0 er kjent som karakteristisk ligning. Nå ved å derivere den karakteristiske ligningen og sette dk/ds lik null, kan vi finne brytpunkter.

• Brytpunkter : Anta at to rotlocus som starter fra poler og beveger seg i motsatt retning kolliderer med hverandre slik at de etter kollisjonen begynner å bevege seg i forskjellige retninger symmetrisk. Eller brytpunkter der flere røtter av den karakteristiske ligningen 1 + G(s)H(s) = 0 oppstår. Verdien av K er maksimal ved punktene der grenene av rotlocus bryter unna. Brytpunkter kan være reelle, imaginære eller komplekse.

• Innbrytpunkt : Vilkåret for innbrytning på plottet er skrevet nedenfor: Rotlokus må være til stede mellom to nabolegende nullpunkter på den reelle aksen.

• Senterpunkt (tyngdepunkt) : Det er også kjent som sentroid og defineres som punktet på plottet fra hvilket alle asymptotene starter. Matematisk beregnes det ved differansen mellom summen av poler og nullpunkter i overføringsfunksjonen når delt på differansen mellom totalt antall poler og totalt antall nullpunkter. Senterpunktet er alltid reelt og betegnes med σA.

Her representerer 'N' antallet poler, og 'M' angir antallet nullpunkter i systemet.

• Asymptoter av rotlocus : Asymptoter utgår fra senterpunktet eller sentroidet og går mot uendelig i en bestemt vinkel. Asymptoter gir retning til rotlocus når de forlater brytpunkter.

• Vinkel av asymptoter : Asymptoter danner en vinkel med den reelle aksen, og denne vinkelen kan beregnes fra den gitte formelen,

Der p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)

N er det totale antallet poler

M er det totale antallet nullpunkter.

• Ankomst- eller avreisevinkel : Vi beregner ankomstvinkelen når det eksisterer komplekse poler i systemet. Ankomstvinkelen kan beregnes som 180 - {(summen av vinkler til en kompleks pol fra de andre polene) - (summen av vinkler til en kompleks pol fra nullpunktene)}.

• Skjæring av rotlocus med den imaginære aksen : For å finne skjæringspunktet mellom rotlocus og den imaginære aksen, må vi bruke Routh-Hurwitz-kriteriet. Først finner vi den hjelpe-ligningen, og den tilhørende verdien av K vil gi skjæringspunktet.

• Dempningsmarginal : Vi definerer dempningsmarginalen som faktoren som designverdien av forsterkningsfaktoren kan multipliseres med før systemet blir ustabil. Matematisk gis det av formelen

• Fasemarginal : Fasemarginalen kan beregnes fra den gitte formelen:

• Symmetri av rotlocus : Rotlocus er symmetrisk om x-aksen eller den reelle aksen.

• Hvordan bestemme verdien av K ved et hvilket som helst punkt på rotlocus? Det er to måter å bestemme verdien av K, hver måte er beskrevet nedenfor.

• Amplitudemåling : Ved ethvert punkt på rotlocus kan vi bruke amplitudemålingen som,

Ved hjelp av denne formelen kan vi beregne verdien av K ved ethvert ønsket punkt.

• Bruk av rotlocusplot : Verdien av K ved ethvert s på rotlocus er gitt ved

Rotlocusplot

Rotlocusplot, en integrert del av denne teknikken, vurderer systemets stabilitet. Ved å finne verdiene av 'K' som opprettholder stabiliteten, sikrer det at systemet yter optimalt under ulike forhold.

Det er noen resultater man bør huske for å lage rotlocus. Disse resultatene er skrevet nedenfor:

• Område hvor rotlocus eksisterer : Etter å ha plottet alle polene og nullpunktene i planet, kan vi lett finne området der rotlocus eksisterer ved å bruke en enkel regel som er skrevet nedenfor,Kun den segmenten som har et oddetall av poler og nullpunkt på høyre side av segmentet, vil bli betraktet i rotlocus.

• Hvordan beregne antallet separate rotlocus ? : Antallet separate rotlocus er lik det totale antallet røtter hvis antallet røtter er større enn antallet poler, ellers er antallet separate rotlocus lik det totale antallet poler hvis antallet røtter er større enn antallet nullpunkter.

Prosedur for å plotte rotlocus

Ved å ta hensyn til alle disse punktene, er vi i stand til å tegne rotlocusplot for enhver type system. La oss nå diskutere prosedyren for å lage en rotlocus.

• Finn alle røttene og polene fra den åpne løkkeoverføringsfunksjonen og plot dem i det komplekse planet.

• Alle rotlocus starter fra polene der k = 0 og slutter ved nullpunktene der K nærmer seg uendelig. Antallet grenene som slutter ved uendelig, er lik differansen mellom antallet poler og antallet nullpunkter av G(s)H(s).

• Finn området der rotlocus eksisterer ved metoden beskrevet ovenfor etter å ha funnet verdiene av M og N.

• Beregn brytpunkter og innbrytpunkter hvis noen.

• Plot asymptotene og sentroidpunktet i det komplekse planet for rotlocus ved å beregne helningen til asymptotene.

• Beregn nå ankomstvinkelen og skjæringen av rotlocus med den imaginære aksen.

• Bestem nå verdien av K ved å bruke en av metodene jeg har beskrevet ovenfor.

Ved å følge ovennevnte prosedyre kan du enkelt tegne rotlocusplot for enhver åpen løkkeoverføringsfunksjon.

• Beregn dempningsmarginalen.

• Beregn fasemarginalen.

• Du kan enkelt kommentere på systemets stabilitet ved å bruke Routh-arrayet.