Gràfic de lloc de les arrels en sistemes de control

Tècnica de Lloc de les Arrels Definida

El lloc de les arrels en el sistema de control és un mètode gràfic utilitzat per analitzar els efectes de la variació dels paràmetres del sistema sobre l'estabilitat i el rendiment d'un sistema de control.

Avantatges de la Tècnica del Lloc de les Arrels

• La tècnica del lloc de les arrels en el sistema de control és fàcil d'implementar en comparació amb altres mètodes.

• Amb l'ajuda del lloc de les arrels, podem preveure fàcilment el rendiment de tot el sistema.

• El lloc de les arrels proporciona una millor manera d'indicar els paràmetres.

Aquest article utilitzarà sovint termes específics relacionats amb la tècnica del lloc de les arrels, essencials per entendre la seva aplicació.

• Equació Característica Relacionada amb la Tècnica del Lloc de les Arrels : 1 + G(s)H(s) = 0 és coneguda com a equació característica. Ara, diferenciant l'equació característica i igualant dk/ds a zero, podem obtenir els punts de separació.

• Punts de Separació : Suposem que dos llocs d'arrels que comencen des d'un pol i es mouen en direccions oposades col·lisionen entre si de manera que, després de la col·lisió, comencen a moure's en diferents direccions de manera simètrica. O els punts de separació on ocorren múltiples arrels de l'equació característica 1 + G(s)H(s) = 0. El valor de K és màxim als punts on les branques del lloc de les arrels es separan. Els punts de separació poden ser reals, imaginaris o complexos.

• Punts de Entrada : La condició perquè hi hagi punts de entrada al gràfic s'escriu a continuació: El lloc de les arrels ha de trobar-se entre dos zeros adjacents en l'eix real.

• Centre de Gravetat : També es coneix com a centroide i es defineix com el punt del gràfic des d'on comencen totes les asíntotes. Matemàticament, es calcula per la diferència de la suma de pols i zeros en la funció de transferència quan es divideix per la diferència del nombre total de pols i el nombre total de zeros. El centre de gravetat és sempre real i es denota per σA.

Aquí, 'N' representa el nombre de pols, i 'M' denota el nombre de zeros en el sistema.

• Asíntotes del Lloc de les Arrels : Les asíntotes provenen del centre de gravetat o centroide i van cap a l'infinit en un angle definit. Les asíntotes proporcionen direcció al lloc de les arrels quan esparen dels punts de separació.

• Angle de les Asíntotes : Les asíntotes formen un cert angle amb l'eix real i aquest angle es pot calcular amb la fórmula següent,

On, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)

N és el nombre total de pols

M és el nombre total de zeros.

• Angle d'Arribada o Sortida : Calculem l'angle de sortida quan hi ha pols complexos en el sistema. L'angle de sortida es pot calcular com 180-{(suma d'angles a un pol complex des d'altres pols)-(suma d'angles a un pol complex des dels zeros)}.

• Intersecció del Lloc de les Arrels amb l'Eix Imaginari : Per trobar el punt d'intersecció del lloc de les arrels amb l'eix imaginari, hem d'utilitzar el criteri de Routh-Hurwitz. Primer, trobem l'equació auxiliar, llavors el valor corresponent de K donarà el valor del punt d'intersecció.

• Marge de Ganancia : Definim el marge de ganancia com el factor per el qual el valor de disseny del factor de ganancia es pot multiplicar abans que el sistema esdevingui inestable. Matemàticament es dóna per la fórmula

• Marge de Fase : El marge de fase es pot calcular amb la fórmula següent:

• Simetria del Lloc de les Arrels : El lloc de les arrels és simètric respecte a l'eix x o l'eix real.

• Com determinar el valor de K en qualsevol punt del lloc de les arrels? Ara hi ha dues maneres de determinar el valor de K, cada una s'explica a continuació.

• Criteri de Magnitud : En qualsevol punt del lloc de les arrels, podem aplicar el criteri de magnitud com,

Utilitzant aquesta fórmula, podem calcular el valor de K en qualsevol punt desitjat.

• Utilitzant el Gràfic del Lloc de les Arrels : El valor de K en qualsevol s del lloc de les arrels es dóna per

Gràfic del Lloc de les Arrels

El gràfic del lloc de les arrels, part integral d'aquesta tècnica, avalu