Juuriyhtälön kuvaaja ohjausjärjestelmissä

Juurijuurto-tekniikka määritelty

Juurijuurto ohjausjärjestelmässä on graafinen lähestymistapa, jota käytetään analysoimaan järjestelmän parametrien vaihtelun vaikutuksia ohjausjärjestelmän vakauteen ja suorituskykyyn.

Juurijuurto-tekniikan etuja

• Juurijuurto-tekniikka on helpompi toteuttaa kuin muut menetelmät ohjausjärjestelmässä.

• Juurijuurton avulla voimme helposti ennustaa koko järjestelmän toimintakykyä.

• Juurijuurto tarjoaa paremman tavan ilmaista parametreja.

Tämä artikkeli käyttää usein juurijuurto-tekniikkaan liittyviä termejä, jotka ovat olennaisia sen soveltamisen ymmärtämiseksi.

• Juurijuurto-tekniikkaan liittyvä karakteristinen yhtälö : 1 + G(s)H(s) = 0 tunnetaan karakteristisena yhtälönä. Nyt erottamalla tämä karakteristinen yhtälö ja asettamalla dk/ds nollaksi, voimme saada erottumispisteet.

• Erottumispisteet : Oletetaan, että kaksi juurijuurtokäyrää, jotka alkavat polusta ja liikkuvat vastakkaisiin suuntiin, törmäävät toisiinsa niin, että törmäyksen jälkeen ne alkavat liikkua eri suuntiin symmetrisesti. Tai erottumispisteet, joissa karakteristisen yhtälön 1 + G(s)H(s) = 0 moninkertaiset juuret ilmenevät. K:n arvo on maksimaalinen pisteissä, joissa juurijuurtokäyrät erottuvat. Erottumispisteet voivat olla reaalisia, imaginaarisia tai kompleksisia.

• Sisäänmenopiste : Seuraavasti kirjoitetaan sisäänmenoehdotus kuvaajan olemaan: Juurijuurto on oltava kahden vierekkäisen nollan välillä reaaliakselilla.

• Painopiste : Se tunnetaan myös centroidina ja se määritellään kuvaajan pisteestä, josta kaikki asymptootit alkavat. Matemaattisesti se lasketaan siirtymäfunktion polttopisteiden ja nollien summan erotuksella, kun se jaetaan polttopisteiden ja nollien kokonaismäärän erotuksella. Painopiste on aina reaalinen, ja sitä merkitään σA:lla.

Tässä 'N' edustaa polttopisteiden määrää, ja 'M' edustaa nollien määrää järjestelmässä.

• Juurijuurtokäyrien asymptootit : Asymptootit alkavat painopisteestä tai centroidista ja menevät äärettömyyteen tietyn kulman suuntaan. Asymptootit antavat suunnan juurijuurtokäyrälle, kun ne poistuvat erottumispisteistä.

• Asymptoottien kulma : Asymptootit tekevät tietyn kulman reaaliakselin kanssa, ja tämä kulma voidaan laskea annetulla kaavalla,

Missä, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)

N on polttopisteiden kokonaismäärä

M on nollien kokonaismäärä.

• Saapumiskulma tai lähtökulma : Laskemme lähtökulman, kun järjestelmässä on kompleksisia polttopisteitä. Lähtökulma voidaan laskea kaavalla 180-{(muun polttopisteen ja kompleksisen polttopisteen välinen kulma)-(muun nollan ja kompleksisen polttopisteen välinen kulma)}.

• Juurijuurtokäyrän leikkauspiste imaginääriakselin kanssa : Leikkauspisteen löytämiseksi juurijuurtokäyrällä imaginääriakselin kanssa meidän on käytettävä Routh-Hurwitzin kriteeriä. Ensimmäiseksi löydämme apuyhtälön, jonka jälkeen vastaava K:n arvo antaa leikkauspisteen arvon.

• Vahvistusvaranto : Määrittelemme vahvistusvarannon, jolla suunnitteluarvoa voidaan kertoa ennen kuin järjestelmä tulee epävakaaksi. Matemaattisesti se annetaan seuraavalla kaavalla

• Fasaarivo : Fasaarivo voidaan laskea seuraavasta kaavasta:

• Juurijuurtokäyrän symmetria : Juurijuurto on symmetrinen x-akselin eli reaaliakselin suhteen.

• K:n arvon määrittäminen mikä tahansa pisteessä juurijuurtokäyrällä? Nyt on kaksi tapaa määrittää K:n arvo, ja jokainen tapa on kuvattu alla.

• Magnitudikriteeri : Jokaisessa pisteessä juurijuurtokäyrällä voimme soveltaa magnitudikriteeriä seuraavasti,

Tämän kaavan avulla voimme laskea K:n arvon halutussa pisteessä.

• Juurijuurtokuvion avulla : K:n arvo mikä tahansa s:ssä juurijuurtokäyrällä on seuraava

Juurijuurtokuvio

Juurijuurtokuvio, joka on osa tätä tekniikkaa, arvioi järjestelmän vakautta. Löytämällä K:n arvot, jotka ylläpitävät vakautta, se varmistaa, että järjestelmä toimii optimaalisesti eri olosuhteissa.

On joitakin tuloksia, jotka pitäisi muistaa, jotta voisi piirtää juurijuurtokuvion. Nämä tulokset on kirjoitettu alla:

• Alue, jossa juurijuurto on olemassa : Kaikkien polttopisteiden ja nollien piirtämisen jälkeen voimme helposti löytää juurijuurton olemassaolon alueen käyttämällä yhtä yksinkertaista sääntöä, joka on kirjoitettu alla,Vain se segmentti otetaan huomioon juurijuurton luomiseen, jos polttopisteiden ja nollien määrä segmentin oikealla puolella on pariton.

• Kuinka lasketaan erillisien juurijuurtokäyrien määrä ? : Erillisien juurijuurtokäyrien määrä on yhtä suuri kuin juurten kokonaismäärä, jos juurten määrä on suurempi kuin polttopisteiden määrä, muuten erillisien juurijuurtokäyrien määrä on yhtä suuri kuin polttopisteiden kokonaismäärä, jos juurten määrä on suurempi kuin nollien määrä.

Menetelmä juurijuurtokuvion piirtämiseksi

Ottaen kaikki nämä asiat huomioon voimme piirtää juurijuurtokuvion mille tahansa järjestelmälle. Keskustellaan nyt juurijuurton piirtämisen menettelystä.

• Löydä kaikki juuret ja polttopisteet avoimen silmukan siirtymäfunktiosta ja piirrä ne kompleksitasoon.

• Kaikki juurijuurtokäyrät alkavat polttopisteistä, joissa k = 0, ja päättyvät nolliin, joissa K lähestyy ääretöntä. Haarojen määrä, jotka päättyvät äärettömyyteen, on yhtä suuri kuin polttopisteiden ja nollien määrän erotus G(s)H(s):sta.

• Löydä juurijuurtokäyrien olemassaolon alue edellä kuvatulla tavalla M:n ja N:n arvojen löytämisen jälkeen.

• Laske erottumispisteet ja sisäänmenopisteet, jos sellaisia on.

• Piirrä asymptootit ja painopiste kompleksitasoon juurijuurtokäyrien suhteen laskemalla asymptoottien kulmakertoimet.

• Laske nyt lähtökulma ja juurijuurtokäyrien leikkauspiste imaginääriakselin kanssa.

• Määritä nyt K:n arvo käyttämällä yhtä aiemmin mainittua menetelmää.

Seuraamalla edellä kuvattua menettelyä voit helposti piirtää juurijuurtokuvion mille tahansa avoimen silmukan siirtymäfunktiolle.

• Lasketaan vahvistusvaranto.

• Lasketaan fasaarivo.

• Voit helposti kommentoida järjestelmän vakautta käyttämällä Routhin taulukkoa.