制御システムにおけるルートロコス図
ルートロカステクニックの定義
制御システムにおけるルートロカスは、システムパラメータの変動が制御システムの安定性と性能に与える影響を分析するためのグラフィカルなアプローチです。
ルートロカステクニックの利点
制御システムにおけるルートロカステクニックは、他の方法と比較して実装が容易です。
ルートロカスを使用することで、全体的なシステムの性能を簡単に予測することができます。
ルートロカスは、パラメータを示すより良い方法を提供します。
この記事では、ルートロカステクニックの理解に必要な特定の用語を頻繁に使用します。
ルートロカステクニックに関連する特性方程式 : 1 + G(s)H(s) = 0 は特性方程式として知られています。この特性方程式を微分し、dk/ds を 0 と等しくすると、ブレイクアウェイポイントを得ることができます。
ブレイクアウェイポイント : 極から始まり反対方向に移動する2つのルートロカスが衝突し、その後対称的に異なる方向に移動する場合、または特性方程式 1 + G(s)H(s) = 0 の多重根が発生するポイントです。K の値は、ルートロカスの枝がブレイクアウェイするポイントで最大になります。ブレイクアウェイポイントは実数、虚数、または複素数である可能性があります。
ブレイキンポイント : 以下に記載されている条件が満たされる場合、プロット上にブレイキンが存在します：ルートロカスは実軸上の2つの隣接する零点の間に存在しなければなりません。
重心 : これはまた中心とも呼ばれ、すべての漸近線が始まるプロット上の点として定義されます。数学的には、伝達関数の極と零点の総和の差を、極と零点の総数の差で割ったもので計算されます。重心は常に実数であり、σA で表されます。
ここで、‘N’ は極の数を、‘M’ は零点の数を表します。
ルートロカスの漸近線 : 漸近線は重心または中心から始まり、一定の角度で無限大に向かって延びます。漸近線は、ルートロカスがブレイクアウェイポイントから離れるときに方向を提供します。
漸近線の角度 : 漸近線は実軸に対して一定の角度を作ります。この角度は以下の式で計算できます。
ここで、p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)
N は極の総数
M は零点の総数。
到着または出発角度 : システムに複素極が存在する場合、出発角度を計算します。出発角度は 180-{(他の極からの複素極への角度の合計)-(零点からの複素極への角度の合計)} で計算できます。
ルートロカスと虚軸の交点 : ルートロカスと虚軸の交点を見つけるには、Routh-Hurwitz 基準を使用します。まず補助方程式を見つけ、対応する K の値が交点の値を与えます。
ゲインマージン : ゲインマージンは、システムが不安定になる前に設計値のゲイン係数を何倍まで乗算できるかを定義します。数学的には以下の式で与えられます。
位相マージン : 位相マージンは以下の式で計算できます。
ルートロカスの対称性 : ルートロカスは x 軸または実軸について対称です。
ルートロカス上の任意の点での K の値をどのように決定するか？ K の値を決定するには2つの方法があります。それぞれの方法は以下の通りです。
大きさ基準 : ルートロカス上の任意の点で、大きさ基準を適用できます。
この式を使用して、任意の所望の点での K の値を計算できます。
ルートロカスプロットを使用 : ルートロカス上の任意の s での K の値は以下の式で与えられます。
ルートロカスプロット
ルートロカスプロットは、この技術の重要な部分であり、システムの安定性を評価します。安定性を維持する K の値を見つけることで、さまざまな条件下での最適なシステム性能を確保します。
ルートロカスをプロットするには、次の結果を覚えておく必要があります。
ルートロカスが存在する領域 : すべての極と零点を平面上にプロットした後、以下の簡単なルールを使用してルートロカスの存在領域を見つけることができます。セグメントの右側にある極と零点の総数が奇数である場合のみ、そのセグメントがルートロカスの作成に考慮されます。
個別のルートロカスの数をどのように計算するか？ : 個別のルートロカスの数は、根の総数と同じです（根の数が極の数よりも多い場合）。それ以外の場合、個別のルートロカスの数は極の総数と同じです（根の数が零点の数よりも多い場合）。
ルートロカスのプロット手順
これらの点を念頭に置いて、どのようなシステムでもルートロカスプロットを描くことができます。次に、ルートロカスの作成手順について説明します。
開ループ伝達関数からすべての根と極を見つけ、それらを複素平面上にプロットします。
すべてのルートロカスは k = 0 となる極から始まり、K が無限大に近づく零点で終了します。G(s)H(s) の極と零点の数の差に等しい数の枝が無限大に向かいます。
M と N の値を見つけてから、上記の方法を使用してルートロカスの存在領域を見つけてください。
必要に応じて、ブレイクアウェイポイントとブレイキンポイントを計算します。
漸近線の傾きを計算して、複素平面上に漸近線と重心点をプロットします。
出発角度とルートロカスと虚軸の交点を計算します。
上記のいずれかの方法を使用して K の値を決定します。
上記の手順に従うことで、任意の開ループ伝達関数のルートロカスプロットを簡単に描くことができます。
ゲインマージンを計算します。
位相マージンを計算します。
Routh 配列を使用して、システムの安定性を簡単に評価できます。
