Корневой годограф в системах управления

Определение метода корневых годографов

Корневой годограф в системе управления — это графический метод, используемый для анализа влияния изменения параметров системы на устойчивость и производительность системы управления.

Преимущества метода корневых годографов

• Метод корневых годографов в системе управления легче реализовать по сравнению с другими методами.

• С помощью корневого годографа можно легко предсказать производительность всей системы.

• Корневой годограф предоставляет лучший способ указания параметров.

В этой статье часто будут использоваться специфические термины, связанные с методом корневых годографов, которые необходимы для понимания его применения.

• Характеристическое уравнение, связанное с методом корневых годографов : 1 + G(s)H(s) = 0 известно как характеристическое уравнение. Теперь, дифференцируя характеристическое уравнение и приравнивая dk/ds к нулю, мы можем найти точки разрыва.

• Точки разрыва : Предположим, что два корневых годографа, начинаясь от полюса, движутся в противоположных направлениях, сталкиваются друг с другом таким образом, что после столкновения они начинают двигаться в разных направлениях симметричным образом. Или точки разрыва, в которых возникают множественные корни характеристического уравнения 1 + G(s)H(s) = 0. Значение K максимально в точках, где ветви корневых годографов разрываются. Точки разрыва могут быть действительными, мнимыми или комплексными.

• Точки входа : Условие для наличия точек входа на графике приведено ниже: корневой годограф должен находиться между двумя смежными нулями на действительной оси.

• Центр тяжести : Также известен как центроид и определяется как точка на графике, откуда начинаются все асимптоты. Математически он вычисляется путем деления разности суммы полюсов и нулей в передаточной функции на разность общего числа полюсов и общего числа нулей. Центр тяжести всегда действителен и обозначается σA.

Здесь 'N' представляет собой количество полюсов, а 'M' обозначает количество нулей в системе.

• Асимптоты корневых годографов : Асимптоты исходят из центра тяжести или центроида и идут к бесконечности под определенным углом. Асимптоты предоставляют направление корневым годографам, когда они отходят от точек разрыва.

• Угол асимптот : Асимптоты образуют некоторый угол с действительной осью, который можно вычислить по следующей формуле,

Где, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)

N — общее число полюсов

M — общее число нулей.

• Угол прихода или ухода : Мы вычисляем угол ухода, когда в системе существуют комплексные полюса. Угол ухода можно вычислить как 180-{(сумма углов до комплексного полюса от других полюсов)-(сумма углов до комплексного полюса от нулей)}.

• Пересечение корневого годографа с мнимой осью : Чтобы найти точку пересечения корневого годографа с мнимой осью, необходимо использовать критерий Рауса-Гурвица. Сначала находим вспомогательное уравнение, затем соответствующее значение K даст значение точки пересечения.

• Запас по коэффициенту усиления : Мы определяем запас по коэффициенту усиления как величину, на которую можно умножить проектное значение коэффициента усиления, прежде чем система станет неустойчивой. Математически это задается формулой

• Фазовый запас : Фазовый запас можно вычислить по следующей формуле:

• Симметрия корневого годографа : Корневой годограф симметричен относительно оси x или действительной оси.

• Как определить значение K в любой точке корневого годографа? Существует два способа определения значения K, каждый из которых описан ниже.

• Критерий модуля : В любой точке корневого годографа можно применить критерий модуля, как указано ниже,

Используя эту формулу, можно вычислить значение K в любой желаемой точке.

• Использование корневого годографа : Значение K в любой точке s на корневом годографе задается следующим образом

Корневой годограф

Корневой годограф, являющийся неотъемлемой частью этого метода, оценивает устойчивость системы. Найдя значения 'K', обеспечивающие устойчивость, он гарантирует оптимальную работу системы в различных условиях.

Существуют некоторые результаты, которые следует помнить для построения корневого годографа. Эти результаты приведены ниже:

• Регион, где существует корневой годограф : После построения всех полюсов и нулей на плоскости, можно легко определить регион существования корневого годографа, используя простое правило, приведенное ниже,Только тот сегмент будет учитываться при построении корневого годографа, если общее количество полюсов и нулей справа от сегмента является нечетным.

• Как рассчитать количество отдельных корневых годографов ? : Количество отдельных корневых годографов равно общему количеству корней, если количество корней больше, чем количество полюсов, в противном случае количество отдельных корневых годографов равно общему количеству полюсов, если количество корней больше, чем количество нулей.

Процедура построения корневого годографа

Учитывая все эти моменты, мы можем построить корневой годограф для любого типа системы. Давайте теперь обсудим процедуру построения корневого годографа.

• Найдите все корни и полюсы из передаточной функции открытой системы и затем постройте их на комплексной плоскости.

• Все корневые годографы начинаются от полюсов, где k = 0, и заканчиваются в нулях, где K стремится к бесконечности. Количество ветвей, заканчивающихся в бесконечности, равно разности между количеством полюсов и количеством нулей G(s)H(s).

• Найдите регион существования корневых годографов, используя метод, описанный выше, после нахождения значений M и N.

• Рассчитайте точки разрыва и точки входа, если таковые имеются.

• Постройте асимптоты и центроид на комплексной плоскости для корневых годографов, вычислив наклон асимптот.

• Теперь рассчитайте угол ухода и пересечение корневых годографов с мнимой осью.

• Теперь определите значение K, используя любой из описанных выше методов.

Следуя вышеуказанной процедуре, вы можете легко построить корневой годограф для любой передаточной функции открытой системы.

• Рассчитайте запас по коэффициенту усиления.

• Рассчитайте фазовый запас.

• Вы можете легко прокомментировать устойчивость системы, используя массив Рауса.