Korenska lokusa u sistemima upravljanja

Definisana tehnikom mesta nula

Mesto nula u sistemu upravljanja je grafički pristup korišćen za analizu uticaja variranja parametara sistema na stabilnost i performanse sistema upravljanja.

Prednosti tehnike mesta nula

• Tehnika mesta nula u sistemu upravljanja je lakše implementirati u odnosu na druge metode.

• Sa pomoću mesta nula možemo lako predvideti performanse celog sistema.

• Mesto nula pruža bolji način da ukazuje na parametre.

Ovaj članak će često koristiti specifične termine vezane za tehniku mesta nula koji su neophodni za razumevanje njegove primene.

• Karakteristična jednačina vezana za tehniku mesta nula : 1 + G(s)H(s) = 0 poznata je kao karakteristična jednačina. Sada, diferenciranjem karakteristične jednačine i postavljanjem dk/ds na nulu, možemo dobiti tačke prekida.

• Tačke prekida : Pretpostavimo dve lokuse koje počinju od pola i kreću se u suprotnim smerovima i sudaraju se tako da nakon sudara počnu da se kreću u različitim smerovima simetrično. Tačke prekida su one na kojima se javljaju višestruke nule karakteristične jednačine 1 + G(s)H(s) = 0. Vrednost K je maksimalna na tačkama gde granice lokusa prekidaju. Tačke prekida mogu biti realne, imaginarno ili kompleksne.

• Tačka prelaska : Uslov za postojanje prelaska na grafiku je naveden ispod: Mesto nula mora biti između dva susedna nula na realnoj osi.

• Centar težišta : Poznat i kao centroid, definisan je kao tačka na grafiku od koje sve asimptote počinju. Matematički, izračunava se razlikom sume polova i nula u prenosnoj funkciji kada se podeli sa razlikom ukupnog broja polova i ukupnog broja nula. Centar težišta je uvek realan i označava se sa σA.

Ovdje, 'N' predstavlja broj polova, a 'M' označava broj nula u sistemu.

• Asimptote mesta nula : Asimptote potiču iz centra težišta ili centroida i idu do beskonačnosti pod određenim uglom. Asimptote pružaju smer mesta nula kada odlaze iz tačaka prekida.

• Ugao asimptota : Asimptote formiraju određeni ugao sa realnom osom, a ovaj ugao se može izračunati pomoću date formule,

Gde, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)

N je ukupan broj polova

M je ukupan broj nula.

• Ugao dolaska ili odlaska : Izračunavamo ugao odlaska kada postoje kompleksni polovi u sistemu. Ugao odlaska se može izračunati kao 180-{(suma uglova do kompleksnog pola od ostalih polova)-(suma uglova do kompleksnog pola od nula)}.

• Presek mesta nula sa imaginarnom osom : Da bismo pronašli tačku preseka mesta nula sa imaginarnom osom, moramo koristiti kriterijum Rauta Hurvic. Prvo, pronađemo pomoćnu jednačinu, a zatim odgovarajuća vrednost K će dati vrednost tačke preseka.

• Margina dobrote : Definišemo marginu dobrote kojom se projektant vrednost faktora dobrote može pomnožiti pre nego što sistem postane nestabilan. Matematički se to daje formulom

• Margina faze : Margina faze se može izračunati pomoću date formule:

• Simetrija mesta nula : Mesto nula je simetrično u odnosu na x-osu ili realnu osu.

• Kako odrediti vrednost K na bilo kojoj tački na mesta nula? Sada postoje dva načina da se odredi vrednost K, svaki način je opisan ispod.

• Kriterijum amplituda : Na bilo kojoj tački na mestu nula možemo primeniti kriterijum amplituda kao,

Koristeći ovu formulu možemo izračunati vrednost K na bilo kojoj željenoj tački.

• Korišćenjem dijagrama mesta nula : Vrednost K na bilo kom s na mestu nula data je

Dijagram mesta nula

Dijagram mesta nula, integralni deo ove tehnike, procenjuje stabilnost sistema. Pronalaženjem vrednosti 'K' koje održavaju stabilnost, osigurava optimalnu performansu sistema pod različitim uslovima.

Sada postoje neki rezultati koje treba zapamtiti kako bi se nacrtalo mesto nula. Ovi rezultati su navedeni ispod:

• Regija gde mesto nula postoji : Nakon crtanja svih polova i nula na ravni, možemo lako pronaći regiju postojanja mesta nula koristeći jednostavno pravilo koje je navedeno ispod,Samo taj segment će biti uzet u obzir prilikom crtanja mesta nula ako ukupan broj polova i nula desno od segmenta je neparan.

• Kako izračunati broj odvojenih mesta nula ? : Broj odvojenih mesta nula jednak je ukupnom broju nula ako je broj nula veći od broja polova, inače broj odvojenih mesta nula jednak je ukupnom broju polova ako je broj nula veći od broja nula.

Postupak crtanja mesta nula

Zapamteći sve ove tačke, možemo nacrtati dijagram mesta nula za bilo koji tip sistema. Sada diskutujmo o postupku crtanja mesta nula.

• Pronađite sve nule i pole iz otvorene petlje prenosne funkcije i nacrtajte ih na kompleksnoj ravni.

• Sva mesta nula počinju od polova gde je k = 0 i završavaju na nulama gde K teži beskonačnosti. Broj grana koje završavaju na beskonačnosti jednak je razlici između broja polova i broja nula G(s)H(s).

• Pronađite regiju postojanja mesta nula prema opisanom metodu nakon pronalaženja vrednosti M i N.

• Izračunajte tačke prekida i tačke prelaska, ako postoje.

• Nacrtajte asimptote i tačku centroida na kompleksnoj ravni za mesta nula izračunavanjem nagiba asimptota.

• Sada izračunajte ugao odlaska i presek mesta nula sa imaginarnom osom.

• Sada odredite vrednost K koristeći bilo koji od metoda koje sam opisao iznad.

Sledujući ovaj postupak, možete lako nacrtati dijagram mesta nula za bilo koju otvorenu petlju prenosne funkcije.

• Izračunajte marginu dobrote.

• Izračunajte marginu faze.

• Možete lako komentarisati stabilnost sistema korišćenjem Rautove tablice.