Plot Locus Akar dalam Sistem Kawalan

Teknik Locus Akar Didefinisikan

Locus akar dalam sistem kawalan adalah pendekatan grafik yang digunakan untuk menganalisis kesan perubahan parameter sistem terhadap kestabilan dan prestasi sistem kawalan.

Kelebihan Teknik Locus Akar

• Teknik locus akar dalam sistem kawalan mudah dilaksanakan berbanding dengan kaedah lain.

• Dengan bantuan locus akar, kita dapat dengan mudah meramalkan prestasi keseluruhan sistem.

• Locus akar menyediakan cara yang lebih baik untuk menunjukkan parameter.

Artikel ini akan sering menggunakan istilah-istilah tertentu berkaitan dengan teknik locus akar yang penting untuk memahami aplikasinya.

• Persamaan Karakteristik Berkaitan dengan Teknik Locus Akar : 1 + G(s)H(s) = 0 dikenali sebagai persamaan karakteristik. Sekarang, dengan membezakan persamaan karakteristik dan mengatur dk/ds sama dengan sifar, kita boleh mendapatkan titik-titik pemisahan.

• Titik-titik Pemisahan : Misalkan dua locus akar yang bermula dari kutub dan bergerak ke arah yang bertentangan bertembung satu sama lain sehingga selepas pertemuan mereka mula bergerak ke arah yang berbeza secara simetri. Atau titik-titik pemisahan di mana akar-akar ganda persamaan karakteristik 1 + G(s)H(s) = 0 berlaku. Nilai K adalah maksimum pada titik di mana cabang-cabang locus akar bercerai. Titik-titik pemisahan boleh nyata, khayalan atau kompleks.

• Titik Masuk : Syarat untuk adanya titik masuk pada plot ditulis di bawah: Locus akar harus ada antara dua sifar bersebelahan pada paksi nyata.

• Pusat Graviti : Ia juga dikenali sebagai centroid dan ditakrifkan sebagai titik pada plot di mana semua asimtot bermula. Secara matematik, ia dikira dengan perbezaan jumlah kutub dan sifar dalam fungsi pemindahan apabila dibahagikan dengan perbezaan jumlah kutub dan jumlah sifar. Pusat graviti selalu nyata dan ditandakan oleh σA.

Di sini, 'N' mewakili bilangan kutub, dan 'M' mewakili bilangan sifar dalam sistem.

• Asimtot Locus Akar : Asimtot berasal dari pusat graviti atau centroid dan pergi ke infiniti pada sudut tertentu. Asimtot memberikan arah kepada locus akar apabila mereka meninggalkan titik-titik pemisahan.

• Sudut Asimtot : Asimtot membuat sudut tertentu dengan paksi nyata dan sudut ini boleh dikira dari formula yang diberikan,

Di mana, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)

N adalah jumlah kutub

M adalah jumlah sifar.

• Sudut Kedatangan atau Kepergian : Kita mengira sudut kepergian apabila terdapat kutub-kutub kompleks dalam sistem. Sudut kepergian boleh dikira sebagai 180-{(jumlah sudut ke kutub kompleks dari kutub-kutub lain)-(jumlah sudut ke kutub kompleks dari sifar-sifar)}.

• Perpotongan Locus Akar dengan Paksi Khayalan : Untuk mencari titik perpotongan locus akar dengan paksi khayalan, kita perlu menggunakan kriteria Routh Hurwitz. Pertama, kita cari persamaan pembantu kemudian nilai K yang sepadan akan memberikan nilai titik perpotongan.

• Margin Gain : Kita menentukan margin gain dengan faktor gain reka bentuk yang boleh didarab sebelum sistem menjadi tidak stabil. Secara matematik, ia diberikan oleh formula

• Margin Fasa : Margin fasa boleh dikira dari formula yang diberikan:

• Simetri Locus Akar : Locus akar bersimetri tentang paksi x atau paksi nyata.

• Bagaimana menentukan nilai K pada mana-mana titik pada locus akar? Ada dua cara untuk menentukan nilai K, setiap cara dijelaskan di bawah.

• Kriteria Magnitud : Pada mana-mana titik pada locus akar, kita boleh menggunakan kriteria magnitud seperti,

Dengan menggunakan formula ini, kita boleh mengira nilai K pada mana-mana titik yang diinginkan.

• Menggunakan Plot Locus Akar : Nilai K pada mana-mana s pada locus akar diberikan oleh

Plot Locus Akar

Plot locus akar, bagian integral dari teknik ini, menilai kestabilan sistem. Dengan mencari nilai-nilai 'K' yang mengekalkan kestabilan, ia memastikan sistem berfungsi optimal dalam pelbagai keadaan.

Sekarang ada beberapa hasil yang perlu diingat untuk memplot locus akar. Hasil-hasil tersebut ditulis di bawah:

• Wilayah di mana locus akar wujud : Setelah memplot semua kutub dan sifar pada satah, kita dapat dengan mudah mencari wilayah keberadaan locus akar dengan menggunakan satu peraturan sederhana yang ditulis di bawah,Hanya segmen yang memiliki jumlah kutub dan sifar di sebelah kanan segmen ganjil yang akan dipertimbangkan dalam membuat locus akar.

• Cara menghitung jumlah locus akar terpisah ? : Jumlah locus akar terpisah sama dengan jumlah akar jika jumlah akar lebih besar daripada jumlah kutub, sebaliknya jumlah locus akar terpisah sama dengan jumlah kutub jika jumlah akar lebih besar daripada jumlah sifar.

Prosedur untuk Memplot Locus Akar

Dengan mempertimbangkan semua poin ini, kita dapat menggambar plot locus akar untuk jenis sistem apa pun. Sekarang mari kita bahas prosedur membuat locus akar.

• Cari semua akar dan kutub dari fungsi pemindahan gelung terbuka dan kemudian plotkan mereka pada satah kompleks.

• Semua locus akar bermula dari kutub di mana k = 0 dan berakhir pada sifar di mana K cenderung ke tak terhingga. Jumlah cabang yang berakhir di tak terhingga sama dengan perbedaan antara jumlah kutub & jumlah sifar dari G(s)H(s).

• Cari wilayah keberadaan locus akar dari metode yang dijelaskan di atas setelah menemukan nilai M dan N.

• Hitung titik-titik pemisahan dan titik masuk jika ada.

• Plot asimtot dan titik centroid pada satah kompleks untuk locus akar dengan menghitung kemiringan asimtot.

• Sekarang hitung sudut kepergian dan perpotongan locus akar dengan paksi khayalan.

• Sekarang tentukan nilai K dengan menggunakan salah satu metode yang saya jelaskan di atas.

Dengan mengikuti prosedur di atas, Anda dapat dengan mudah menggambar plot locus akar untuk fungsi pemindahan gelung terbuka apa pun.

• Hitung margin gain.

• Hitung margin fasa.

• Anda dapat dengan mudah memberikan komen tentang kestabilan sistem dengan menggunakan Array Routh.