Діаграма кореневого місця в системах керування

Визначення методу кореневого місця

Кореневе місце в системі керування - це графічний підхід, який використовується для аналізу впливу зміни параметрів системи на стійкість та продуктивність системи керування.

Переваги методу кореневого місця

• Метод кореневого місця в системі керування є легшим для реалізації порівняно з іншими методами.

• З допомогою кореневого місця можна легко передбачити продуктивність всієї системи.

• Кореневе місце надає кращий спосіб вказати параметри.

Ця стаття часто використовуватиме специфічні терміни, пов'язані з методом кореневого місця, необхідні для розуміння його застосування.

• Характеристичне рівняння, пов'язане з методом кореневого місця : 1 + G(s)H(s) = 0 відоме як характеристичне рівняння. Тепер, продиференціювавши характеристичне рівняння і прирівнявши dk/ds до нуля, ми можемо отримати точки розриву.

• Точки розриву : Припустимо, що два кореневих місця, які починаються від полюсу і рухаються у протилежному напрямку, зіткнулися один з одним так, що після зіткнення вони починають рухатися в різних напрямках симетричним чином. Або точки розриву, в яких відбуваються кратні корені характеристичного рівняння 1 + G(s)H(s) = 0. Значення K максимальне в точках, де гілки кореневого місця розриваються. Точки розриву можуть бути дійсними, уявними або комплексними.

• Точки входження : Умова входження на графік наведена нижче: кореневе місце має бути присутнім між двома сусідніми нулями на дійсній осі.

• Центр мас : Він також відомий як центроїд і визначається як точка на графіку, з якої починуються всі асимптоти. Математично, він обчислюється як різниця суми полюсів і нулів в передавальній функції, поділена на різницю загальної кількості полюсів і загальної кількості нулів. Центр мас завжди дійсний і позначається σA.

Тут 'N' представляє кількість полюсів, а 'M' позначає кількість нулів в системі.

• Асимптоти кореневого місця : Асимптота походить з центру мас або центроїда і прямує до нескінченності під певним кутом. Асимптоти надають напрямок кореневому місцеві, коли вони відходять від точок розриву.

• Кут асимптот : Асимптоти утворюють певний кут з дійсною віссю, і цей кут можна обчислити за формулою,

Де, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)

N - загальна кількість полюсів

M - загальна кількість нулів.

• Кут прибуття або відходу : Ми обчислюємо кут відходу, коли в системі існують комплексні полюси. Кут відходу можна обчислити як 180-{(сума кутів до комплексного полюса від інших полюсів)-(сума кутів до комплексного полюса від нулів)}.

• Перетин кореневого місця з уявною віссю : Щоб знайти точку перетину кореневого місця з уявною віссю, ми повинні використовувати критерій Рауса-Гурвіца. Спочатку ми знаходимо допоміжне рівняння, а потім відповідне значення K дасть значення точки перетину.

• Резерв по коефіцієнту підсилення : Ми визначаємо резерв по коефіцієнту підсилення, на який проектне значення коефіцієнта підсилення може бути помножене, перш ніж система стане нестабільною. Математично це задається формулою

• Фазовий резерв : Фазовий резерв можна обчислити за формулою:

• Симетрія кореневого місця : Кореневе місце симетричне відносно осі x або дійсної осі.

• Як визначити значення K в будь-якій точці кореневого місця? Зараз існує два способи визначення значення K, кожен спосіб описаний нижче.

• Критерій величини : В будь-якій точці кореневого місця ми можемо застосувати критерій величини, як

Використовуючи цю формулу, ми можемо обчислити значення K в будь-якій бажаній точці.

• Використання графіка кореневого місця : Значення K в будь-якій точці s на кореневому місці визначається як

Графік кореневого місця

Графік кореневого місця, який є інтегральною частиною цього методу, оцінює стійкість системи. Знаходячи значення 'K', які забезпечують стійкість, він гарантує оптимальну продуктивність системи в різних умовах.

Зараз є деякі результати, які слід пам'ятати для побудови кореневого місця. Ці результати наведені нижче:

• Регіон, де існує кореневе місце : Після побудови всіх полюсів і нулів на площині, ми можемо легко знайти регіон існування кореневого місця, використовуючи просте правило, яке наведено нижче,Лише той сегмент буде враховано при побудові кореневого місця, якщо загальна кількість полюсів і нулів праворуч від сегмента є непарною.

• Як обчислити кількість окремих кореневих місць ? : Кількість окремих кореневих місць дорівнює загальній кількості коренів, якщо кількість коренів більша за кількість полюсів, в іншому випадку кількість окремих кореневих місць дорівнює загальній кількості полюсів, якщо кількість коренів більша за кількість нулів.

Процедура побудови кореневого місця

Залишаючи на увазі всі ці пункти, ми зможемо побудувати графік кореневого місця для будь-якої системи. Тепер розглянемо процедуру побудови кореневого місця.

• Знайдіть всі корені і полюси з відкритої передавальної функції і побудуйте їх на комплексній площині.

• Всі кореневі місця починаються від полюсів, де k = 0, і закінчуються в нулях, де K прямує до нескінченності. Кількість гілок, які закінчуються в нескінченності, дорівнює різниці між кількістю полюсів і кількістю нулів G(s)H(s).

• Знайдіть регіон існування кореневих місць за методом, описаним вище, після знаходження значень M і N.

• Обчисліть точки розриву та точки входження, якщо вони є.

• Побудуйте асимптоти та центр мас на комплексній площині для кореневих місць, обчисливши нахил асимптот.

• Тепер обчисліть кут відходу та перетин кореневих місць з уявною віссю.

• Тепер визначте значення K, використовуючи будь-який з методів, які я описав вище.

Слідуючи цій процедурі, ви з легкістю зможете побудувати графік кореневого місця для будь-якої відкритої передавальної функції.

• Обчисліть резерв по коефіцієнту підсилення.

• Обчисліть фазовий резерв.

• Ви з легкістю зможете прокоментувати стійкість системи, використовуючи масив Рауса.