Wortellocusplot in regelsystemen

Definitie van de Root Locus Techniek

Root locus in een regelsysteem is een grafische benadering die wordt gebruikt om de effecten van variërende systeemparameters op de stabiliteit en prestaties van een regelsysteem te analyseren.

Voordelen van de Root Locus Techniek

• De root locus techniek in een regelsysteem is gemakkelijker te implementeren vergeleken met andere methoden.

• Met behulp van de root locus kunnen we de prestaties van het hele systeem gemakkelijk voorspellen.

• De root locus biedt een betere manier om de parameters aan te geven.

Dit artikel zal vaak specifieke termen gebruiken die gerelateerd zijn aan de root locus techniek, essentieel voor het begrijpen van haar toepassing.

• Karakteristieke Vergelijking Gerelateerd aan de Root Locus Techniek : 1 + G(s)H(s) = 0 staat bekend als karakteristieke vergelijking. Door deze karakteristieke vergelijking te differentiëren en dk/ds gelijk te stellen aan nul, kunnen we de break away punten bepalen.

• Break Away Punten : Stel dat twee root loci beginnen bij een pool en zich in tegengestelde richtingen bewegen, botsen en na de botsing in verschillende richtingen symmetrisch verder gaan. Of de break away punten waar meerdere wortels van de karakteristieke vergelijking 1 + G(s)H(s) = 0 voorkomen. De waarde van K is maximaal op de punten waar de takken van de root loci wegbreken. Break away punten kunnen reëel, imaginair of complex zijn.

• Break In Punt : De voorwaarde voor een break in op de plot is als volgt: De root locus moet aanwezig zijn tussen twee opeenvolgende nullen op de reële as.

• Zwaartepunt : Het wordt ook centrum genoemd en wordt gedefinieerd als het punt op de plot waarvan alle asymptoten beginnen. Wiskundig wordt het berekend door de som van de polen minus de som van de nullen in de overdrachtsfunctie, gedeeld door het verschil in het totale aantal polen en het totale aantal nullen. Het zwaartepunt is altijd reëel en wordt aangeduid met σA.

Hierbij staat 'N' voor het aantal polen, en 'M' voor het aantal nullen in het systeem.

• Asymptoten van de Root Loci : Asymptoten ontstaan uit het zwaartepunt of centrum en lopen naar oneindig onder een bepaalde hoek. Asymptoten geven richting aan de root locus wanneer ze de break away punten verlaten.

• Hoek van de Asymptoten : Asymptoten maken een bepaalde hoek met de reële as, en deze hoek kan worden berekend met de volgende formule,

Waarbij, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)

N is het totale aantal polen

M is het totale aantal nullen.

• Aankomst- of Vertrekshoek : We berekenen de vertrekshoek wanneer er complexe polen in het systeem zijn. De vertrekshoek kan worden berekend als 180-{(som van hoeken naar een complexe pool vanaf de andere polen)-(som van hoeken naar een complexe pool vanaf de nullen)}.

• Snijpunt van de Root Locus met de Imaginaire As : Om het snijpunt van de root locus met de imaginaire as te vinden, moeten we de Routh-Hurwitz criterium gebruiken. Eerst vinden we de hulpvergelijking, dan geeft de corresponderende waarde van K het snijpunt.

• Versterkingsmarge : We definiëren de versterkingsmarge als de factor waarmee de ontwerpwaaardes van de versterkingsfactor kunnen worden vermenigvuldigd voordat het systeem instabiel wordt. Wiskundig wordt dit gegeven door de formule

• Fasemarge : De fasemarge kan worden berekend met de volgende formule:

• Symmetrie van de Root Locus : De root locus is symmetrisch ten opzichte van de x-as of de reële as.

• Hoe bepaal je de waarde van K op elk punt op de root loci? Er zijn twee manieren om de waarde van K te bepalen, elke methode wordt hieronder beschreven.

• Magnitude Criteria : Op elk punt op de root locus kunnen we het magnitude criteria toepassen als,

Met deze formule kunnen we de waarde van K op elk gewenst punt berekenen.

• Gebruik van de Root Locus Plot : De waarde van K op elk s op de root locus wordt gegeven door

Root Locus Plot

De root locus plot, een integraal onderdeel van deze techniek, evalueert de stabiliteit van een systeem. Door de waarden van 'K' te vinden die stabiliteit waarborgen, zorgt het ervoor dat het systeem optimaal presteert onder verschillende omstandigheden.

Er zijn enkele resultaten die men moet onthouden om de root locus te plotten. Deze resultaten staan hieronder:

• Gebied waar de root locus bestaat : Na het plotten van alle polen en nullen op het vlak, kunnen we het gebied van bestaan van de root locus gemakkelijk vinden door gebruik te maken van een eenvoudige regel, zoals hieronder beschreven,Alleen dat segment wordt beschouwd bij het maken van de root locus als het totaal aantal polen en nullen aan de rechterkant van het segment oneven is.

• Hoe bereken je het aantal afzonderlijke root loci ? : Het aantal afzonderlijke root loci is gelijk aan het totale aantal wortels als het aantal wortels groter is dan het aantal polen, anders is het aantal afzonderlijke root loci gelijk aan het totale aantal polen als het aantal wortels groter is dan het aantal nullen.

Procedure om de Root Locus te Plotten

Met al deze punten in gedachten kunnen we de root locus plot maken voor elk soort systeem. Laten we nu de procedure bespreken om een root locus te maken.

• Vind alle wortels en polen uit de openlus overdrachtsfunctie en plot ze op het complexe vlak.

• Alle root loci beginnen bij de polen waar k = 0 en eindigen bij de nullen waar K naar oneindig gaat. Het aantal takken dat eindigt in oneindig is gelijk aan het verschil tussen het aantal polen en het aantal nullen van G(s)H(s).

• Bepaal het gebied van bestaan van de root loci met de bovenstaande methode nadat de waarden van M en N zijn gevonden.

• Bereken de break away punten en break in punten indien aanwezig.

• Plot de asymptoten en het zwaartepunt op het complexe vlak voor de root loci door de helling van de asymptoten te berekenen.

• Bereken nu de vertrekshoek en het snijpunt van de root loci met de imaginaire as.

• Bepaal nu de waarde van K met behulp van een van de methoden die ik hierboven heb beschreven.

Door de bovenstaande procedure te volgen, kun je gemakkelijk de root locus plot maken voor elke openlus overdrachtsfunctie.

• Bereken de versterkingsmarge.

• Bereken de fasemarge.

• Je kunt gemakkelijk commentaar geven op de stabiliteit van het systeem met behulp van de Routh Array.