Tensio RMS: Quid est? (Formula et Modus Calculandi)

Electrical4u

Campus: Electrica Elementaria

China

Quid est tensio RMS?

Verbum RMS significat Radix Media Quadrata. Tensio RMS definitur ut radix quadrata medii quadrati valorum instantaneorum tensionis signali. RMS est etiam notus ut media quadratica. Tensio RMS potest etiam defini pro tensione continue variante in terminis integrale quadratorum valorum instantaneorum per cyclum.

Valorem RMS maxime importantem esse in casu signali AC. Quia valor instantaneus signali AC continue variat respectu temporis. Diversum a signali DC, qui est relativus constans.

Itaque, valor instantaneus tensionis non potest directe ad calculandum uti.

Tensio RMS est etiam notus ut tensio DC aequivalens quia valorem RMS dat quantitatem potentiae AC ab resistente abstractam similiter sicut potentia a fonte DC abstracta.

Exempli gratia, accipe onus 5Ω coniunctum cum fonte 10V DC. In casu fontis DC, valor tensionis est constans pro omni momento temporis. Itaque, potentia ab onere abstracta facile calculatur, et est 20W.

Sed vice fontis DC, dicamus utimur fonte AC. In hac conditione, valor tensionis variat respectu temporis, ut monstratur in figura infra.

Signali AC est signali sinusoidalis in plerisque conditionibus, ut monstratur in figura supra. Quia in signali sinusoidali valor instantaneus variat, non possumus uti valore instantaneo ad calculandum potentiam.

Sed si invenimus valorem RMS signali supra, possumus uti eo ad inveniendum potentiam. Dicamus valorem RMS est 10Vrms. Potentia dissipata ab onere est 20W.

Tensio quod in domibus recipimus est tensio RMS. Multimetrices quoque valorem RMS pro potentia AC dant. Et in systemate potentiae, utimur tensione systematis, quae etiam valor RMS est.

Quomodo Tensio RMS Calculetur

Valorem RMS tantum pro formis temporis variabilibus calculatur, ubi magnitudo quantitatis tempore variatur.

Non possumus valorem RMS pro forma DC invenire, quia forma DC habet valorem constantem ad omne instantaneum temporis.

Sunt duo methodi ad valorem RMS calculandum.

Methodus Graphica
Methodus Analytica

Methodus Graphica

In hac methodo, utimur forma ad valorem RMS inveniendum. Methodus graphica utilior est quando signum non est symmetria vel sinusoidale.

Accuratia huius methodi pendet a numero punctorum acceptorum ex forma. Pauci puncti parvam accuratiam praebent, et maior numerus punctorum maiorem accuratiam praebet.

Valor RMS est radix quadrata medii valoris functionis quadratae. Exempli gratia, accipiamus formam sinusoidalem tensionis ut infra figura ostenditur.

Sequere hos passus ad tensionem RMS per methodum graphicam calculandam.

Passus I: Divide formam in partes aequales. Hic, consideramus semicyclus formae. Potestis etiam cyclos completos considerare.

Prima pars semicircularis dividitur in decem partes aequales; V1, V2, …, V10.

Step-2: Inveni quadratum cuiusque valoris.

$V_1^2, V_2^2, V_3^2, …, V_{10}^2$

Step-3: Summa horum quadratorum capienda est. Inveni summam horum valorum et divide per numerum punctorum totalem.

$\frac{V_1^2+V_2^2+V_3^2+V_4^2+V_5^2+V_6^2+V_7^2+V_8^2+V_9^2+V_{10}^2}{10}$

Step-4 Nunc, radicem quadratam huius valoris capere oportet.

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{V_1^2+V_2^2+V_3^2+V_4^2+V_5^2+V_6^2+V_7^2+V_8^2+V_9^2+V_{10}^2}{10}}$

Hae passus sunt idem pro omnibus formulis undarum continuarum.

Pro variis signis temporali variatione, sicut triangulare, quadratum; haec passus sequuntur ad inveniendam tensionem RMS.

Solvamus haec passus exemplo.

Inveni valorem RMS formae undarum quae in figura infra demonstrata est. Considera puram sinuosi formam tensionis.

Step-1: Prima semicyclus dividitur in decem partes aequales. Et valores harum partium sunt sicut in figura ostenditur.

Step-2: Inventa quadratum cuiusque puncti.

6.2	11.8	16.2	19	20	19	16.2	11.8	6.2	0
38.44	139.24	262.44	361	400	361	262.44	139.24	38.44	0

Paso-3: Accipe mediam arithmetica valorem quadratorum.

$\frac{38.44+139.24+262.44+361+400+361+262.44+139.24+38.44+0}{10} = 200.22$

Paso-4: Quaere radicem quadratam.

$\sqrt{200.22} = 14.15$

$V_{RMS} = 14.15 V$

Methodus Analytica

In hac methodo, tensio RMS potest calculari per proceduram mathematicam. Haec methodus est accuratior pro forma sinusoidali pura.

Considera formam sinusoidalem puram tensionis definitam ut VmCos(ωt) cum periodo T.

Ubi,

Vm = Valorem maximum vel valorem culminis formae tensionis

ω = Frequens angularis = 2π/T

Nunc, calculamus valorem RMS tensionis.

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} V_m^2 cos^2(\omega t) dt}$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{V_m^2}{T} \int_{0}^{T} cos^2(\omega t) dt}$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{V_m^2}{T} \int_{0}^{T} \frac{1+cos(2 \omega t)}{2} dt}$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{V_m^2}{2T} \int_{0}^{T} 1+cos(2 \omega t) dt}$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{ V_m^2}{2T} \left[ t + \frac{sin(2 \omega t)}{2 \omega} \right ]_0^T$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{ V_m^2}{2T} \left[ (T-0) + (\frac{sin(2 \omega T)}{2 \omega} - \frac{sin 0}{2 \omega} ) \right ]$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{ V_m^2}{2T} \left[ T + \frac{sin(2 \omega T)}{2 \omega} \right ]$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{ V_m^2}{2T} \left[ T + \frac{sin(2 \frac{2 \pi}{T} T)}{2 \frac{2 \pi}{T} } \right ]$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{ V_m^2}{2T} \left[ T +\frac{sin(4 \pi)}{2 \frac{2 \pi}{T}} \right ]$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{ V_m^2}{2T} [T+0]}$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{ V_m^2}{2}$

$V_{RMS} = V_m \frac{1}{\sqrt{2}}$

$V_{RMS} = V_m 0.7071$

Itaque, valor RMS purae sinusoidalis formae potest derivari ex valore culminis (maximo).

In exemplo supra (methodus graphica), valor culminis est 20V.

$V_{RMS} = 0.7071 \times 20$

$V_{RMS} = 14.142 V$

Formula Valoris RMS

Valor RMS potest calculari ex valore culminis, valore culmine ad culmen, et valore medio.

Pro forma sinusoidali formulae infra usantur ad calculandum valorem RMS.

A maximo tensore (VP);

$V_{RMS} = \frac{1}{\sqrt{2}} V_P = 0.7071 V_P$

A maximo ad maximo tensore (VPP);

$V_{RMS} = \frac{1}{2\sqrt{2}} V_{PP} = 0.353 V_{PP}$

A medio tensore (VAVG);

$V_{RMS} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}} V_{AVG} = 1.11 V_{AVG}$

Tensio RMS versus Tensio Pica versus Tensio Pica ad Pica versus Tensio Media

Tensio RMS est essentialis pro variis calculationibus in circuitibus AC. Similiter, tensio pica, tensio pica ad pica, et tensio media necessariae sunt.

Tensio Pica

Tensio pica definitur ut valor maximus tensionis pro quacumque forma tensionis. Valor picis mensurat a axe referentia (0) ad summum punctum formae.

Si sinusoidalem formam consideramus, valor tensionis a axe referentia crescit et ad summum punctum formae in parte positiva pervenit. Diferentia inter haec duo puncta nobis tensio pica positiva dat.

A puncto pica, tensio coepit decrescere et ad axem referentia pervenit. Postea, incipit crescere in parte negativa et ad summum punctum pervenit. Hoc punctum est punctum pica negativum.

Possumus calculare tensionem picam ex tensio RMS, tensio pica ad pica, et tensio media.

Tensio Pica Ex Tensio RMS

Ut calculemus tensionem picam ex tensio RMS, oportet multiplicare tensio RMS per factorem appropinquatum 1.414.

$V_{PEAK} = V_{RMS} \times \sqrt{2} = V_{RMS} \times 1.414$

Tensio Pica Ex Tensio Pica ad Pica

Tensio pica est dimidium tensionis pica ad pica.

$V_{PEAK} = V_{PP} \times 0.5$

Valentia Maxima ex Valentia Media

Ut valentiam maximam ex valentia media calculare, oportet valentiam mediam per factorem circiter 1.57 multiplicare.

$V_{PEAK} = V_{AVG} \times \frac{\pi}{2} = V_{RMS} \times 1.57$

Valentia Inter Extrema

Valentia inter extrema est differentia inter valentiam maximam positivam et valentiam maximam negativam.

Pro forma sinusoidal, valentia inter extrema ostenditur in figura subiecta.

Valentia Inter Extrema

Possumus valentiam inter extrema ex valentia RMS, valentia maxima, et valentia media calculare.

Tensio crista a tensio RMS

Ut tensio crista a tensio RMS calculetur, factor multiplicativus est 2.8284.

$V_{PP} = V_{RMS} \times 2\sqrt{2} = V_{RMS} \times 2.8284$

Tensio crista a tensio pinnaculi

Tensio crista est duplex tensio pinnaculi.

$V_{PP} = V_{PEAK} \times 2$

Tensio crista a tensio medio

Ut tensio crista a tensio medio calculetur, factor multiplicativus est 3.14 (π).

$V_{PP} = V_{AVG} \times \pi = V_{AVG} \times 3.14$

Voltus Medius

Ratio inveniendi voltum medium similis est ratio inveniendi voltum RMS. Unica differentia est quod valores instantanei non sunt functiones quadratae et non faciunt radicem quadratam.

Valorus medius nobis dat lineam horizontalem. Et area supra lineam horizontalem aequalis est areae infra lineam horizontalem. Cognoscitur etiam ut voltus medius.

Possumus calculare voltum medium ex voltu RMS, voltu culminis, et voltu culmine-culmine.

Voltus Medius Ex Voltu RMS

Ut calculemus voltum medium ex voltu RMS, multiplicator factor approximativus est 0.9.

$V_{AVG} = 0.9 V_{RMS}$