Effektivwert der Spannung: Was ist das? (Formel und Berechnung)

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Feld: Grundlagen der Elektrotechnik

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Was ist RMS-Spannung?

RMS steht für Root Mean Square. Eine RMS-Spannung wird definiert als die Quadratwurzel des arithmetischen Mittels der quadrierten Momentanwerte des Spannungssignals. Die RMS-Wertung wird auch als quadratisches Mittel bezeichnet. Die RMS-Spannung kann auch für eine kontinuierlich variierende Spannung in Bezug auf ein Integral der Quadrate der Momentanwerte während eines Zyklus definiert werden.

Der RMS-Wert ist bei einem Wechselstromsignal besonders wichtig. Denn der Momentanwert eines Wechselstromsignals variiert ständig im Verhältnis zur Zeit. Im Gegensatz dazu ist ein Gleichstromsignal relativ konstant.

Daher kann der Momentanwert der Spannung nicht direkt für die Berechnung verwendet werden.

Die RMS-Spannung wird auch als äquivalente Gleichspannung bezeichnet, da der RMS-Wert die Menge an Wechselstromleistung angibt, die von einem Widerstand gezogen wird, ähnlich wie die Leistung, die von einer Gleichspannungsquelle gezogen wird.

Nehmen wir zum Beispiel einen 5Ω-Last, der mit einer 10V-Gleichspannungsquelle verbunden ist. Bei einer Gleichspannungsquelle ist der Spannungswert für jeden Zeitpunkt konstant. Daher kann die von der Last gezogene Leistung leicht berechnet werden, und sie beträgt 20W.

Aber anstelle einer Gleichspannungsquelle verwenden wir eine Wechselspannungsquelle. In diesem Fall variiert der Spannungswert im Verhältnis zur Zeit, wie in der unten gezeigten Abbildung dargestellt.

Das Wechselstromsignal ist in den meisten Fällen ein Sinussignal, wie in der oben gezeigten Abbildung dargestellt. Da bei einem Sinussignal der Momentanwert variiert, können wir den Momentanwert nicht zur Berechnung der Leistung verwenden.

Wenn wir jedoch den RMS-Wert des obigen Signals finden, können wir ihn zur Bestimmung der Leistung verwenden. Nehmen wir an, der RMS-Wert beträgt 10Vrms. Die von der Last dissipierte Leistung beträgt 20W.

Die Spannung, die wir zu Hause empfangen, ist eine RMS-Spannung. Multimeter geben ebenfalls einen RMS-Wert für Wechselstrom an. Und in einem Stromnetz verwenden wir ein Systemspannung, die ebenfalls ein RMS-Wert ist.

Wie man den RMS-Wert berechnet

Der RMS-Wert wird nur für zeitabhängige Wellenformen berechnet, bei denen sich die Größe der Größe im Verhältnis zur Zeit ändert.

Wir können keinen RMS-Wert für eine Gleichspannungs-Wellenform finden, da die Gleichspannungs-Wellenform für jeden Moment konstant ist.

Es gibt zwei Methoden, um den RMS-Wert zu berechnen.

Graphische Methode
Analytische Methode

Graphische Methode

Bei dieser Methode verwenden wir eine Wellenform, um den RMS-Wert zu ermitteln. Die graphische Methode ist nützlicher, wenn das Signal nicht symmetrisch oder sinusförmig ist.

Die Genauigkeit dieser Methode hängt von der Anzahl der Punkte ab, die aus der Wellenform entnommen werden. Wenige Punkte führen zu geringer Genauigkeit, und eine größere Anzahl von Punkten führt zu hoher Genauigkeit.

Der RMS-Wert ist die Quadratwurzel des Durchschnittswerts der quadrierten Funktion. Nehmen wir zum Beispiel eine sinusförmige Spannungs-Wellenform, wie in der folgenden Abbildung gezeigt.

Folgen Sie diesen Schritten, um den RMS-Wert nach der graphischen Methode zu berechnen.

Schritt 1: Teilen Sie die Wellenform in gleiche Teile. Hier betrachten wir die halbe Periode der Wellenform. Sie können auch die volle Periode berücksichtigen.

Die erste Halbwelle wird in zehn gleiche Teile geteilt; V1, V2, …, V10.

Schritt 2: Berechne das Quadrat jedes Werts.

$V_1^2, V_2^2, V_3^2, …, V_{10}^2$

Schritt 3: Bilde den Durchschnitt dieser quadrierten Werte. Berechne die Summe dieser Werte und teile sie durch die Gesamtzahl der Punkte.

$\frac{V_1^2+V_2^2+V_3^2+V_4^2+V_5^2+V_6^2+V_7^2+V_8^2+V_9^2+V_{10}^2}{10}$

Schritt 4: Bilde nun die Quadratwurzel dieses Werts.

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{V_1^2+V_2^2+V_3^2+V_4^2+V_5^2+V_6^2+V_7^2+V_8^2+V_9^2+V_{10}^2}{10}}$

Diese Schritte gelten für alle Arten von kontinuierlichen Wellenformen.

Für verschiedene Arten zeitabhängiger Signale wie Dreieck- oder Rechtecksignale folgen diese Schritte, um die RMS-Spannung zu berechnen.

Lassen Sie uns diese Schritte anhand eines Beispiels durchführen.

Bestimmen Sie den Effektivwert des in der folgenden Abbildung dargestellten Wellenforms. Nehmen Sie eine reine sinusförmige Spannung an.

Schritt-1: Der erste Halbschwingungsteil wird in zehn gleiche Teile unterteilt. Die Werte dieser Teile sind in der Abbildung dargestellt.

Schritt-2: Berechnen Sie das Quadrat jedes Punktes.

6,2	11,8	16,2	19	20	19	16,2	11,8	6,2	0
38,44	139,24	262,44	361	400	361	262,44	139,24	38,44	0

Schritt-3: Berechne den Durchschnitt der quadrierten Werte.

$\frac{38.44+139.24+262.44+361+400+361+262.44+139.24+38.44+0}{10} = 200.22$

Schritt-4: Bestimme die Quadratwurzel.

$\sqrt{200.22} = 14.15$

$V_{RMS} = 14.15 V$

Analytische Methode

Mit dieser Methode kann die RMS-Spannung durch einen mathematischen Prozess berechnet werden. Diese Methode ist für reine Sinuswellenformen genauer.

Betrachten wir eine reine sinusförmige Spannungsform mit der Definition VmCos(ωt) und einer Periode T.

Wo,

Vm = Maximalwert oder Spitzenwert der Spannungswelle

ω = Winkelgeschwindigkeit Frequenz = 2π/T

Nun berechnen wir den RMS-Wert der Spannung.

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} V_m^2 cos^2(\omega t) dt}$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{V_m^2}{T} \int_{0}^{T} cos^2(\omega t) dt}$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{V_m^2}{T} \int_{0}^{T} \frac{1+cos(2 \omega t)}{2} dt}$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{V_m^2}{2T} \int_{0}^{T} 1+cos(2 \omega t) dt}$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{ V_m^2}{2T} \left[ t + \frac{sin(2 \omega t)}{2 \omega} \right ]_0^T$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{ V_m^2}{2T} \left[ (T-0) + (\frac{sin(2 \omega T)}{2 \omega} - \frac{sin 0}{2 \omega} ) \right ]$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{ V_m^2}{2T} \left[ T + \frac{sin(2 \omega T)}{2 \omega} \right ]$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{ V_m^2}{2T} \left[ T + \frac{sin(2 \frac{2 \pi}{T} T)}{2 \frac{2 \pi}{T} } \right ]$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{ V_m^2}{2T} \left[ T +\frac{sin(4 \pi)}{2 \frac{2 \pi}{T}} \right ]$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{ V_m^2}{2T} [T+0]}$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{ V_m^2}{2}$

$V_{RMS} = V_m \frac{1}{\sqrt{2}}$

$V_{RMS} = V_m 0.7071$

Daher kann der RMS-Wert einer reinen sinusförmigen Spannungswelle aus dem Spitzenwert (Maximalwert) abgeleitet werden.

Im obigen Beispiel (grafische Methode) beträgt der Spitzenwert 20V.

$V_{RMS} = 0.7071 \times 20$

$V_{RMS} = 14.142 V$

Formel für die RMS-Spannung

Die RMS-Spannung kann aus dem Spitzenwert, dem Spitzen-zu-Spitzen-Wert und dem Mittelwert berechnet werden.

Für sinusförmige Spannungswellen werden die folgenden Formeln verwendet, um die RMS-Spannung zu berechnen.

Von der Spitzen Spannung (VP);

$V_{RMS} = \frac{1}{\sqrt{2}} V_P = 0.7071 V_P$

Von der Spitzen-zu-Spitzen Spannung (VPP);

$V_{RMS} = \frac{1}{2\sqrt{2}} V_{PP} = 0.353 V_{PP}$

Von der Durchschnittsspannung (VAVG);

$V_{RMS} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}} V_{AVG} = 1.11 V_{AVG}$

Effektivwert der Spannung vs. Spitzenwert der Spannung vs. Spitzen-Spitzen-Wert der Spannung vs. Durchschnittswert der Spannung

Der Effektivwert der Spannung ist für verschiedene Berechnungen in Wechselstromkreisen essentiell. Ähnlich sind auch der Spitzenwert der Spannung, der Spitzen-Spitzen-Wert der Spannung und der Durchschnittswert der Spannung notwendig.

Spitzenwert der Spannung

Der Spitzenwert der Spannung wird definiert als der maximale Wert der Spannung für jede Spannungsform. Der Spitzenwert misst vom Referenzachsen (0) bis zum höchsten Punkt der Form.

Wenn wir eine sinusförmige Spannung betrachten, steigt der Spannungswert vom Referenzachsen an und erreicht den Spitzenpunkt der Form auf der positiven Seite. Der Unterschied zwischen diesen beiden Punkten gibt uns den positiven Spitzenwert der Spannung.

Vom Spitzenpunkt aus fällt die Spannung ab und erreicht die Referenzachsen. Danach beginnt sie, auf der negativen Seite zu steigen und erreicht den Spitzenpunkt. Dieser Punkt ist der negative Spitzenpunkt.

Wir können den Spitzenwert der Spannung aus dem Effektivwert der Spannung, dem Spitzen-Spitzen-Wert der Spannung und dem Durchschnittswert der Spannung berechnen.

Spitzenwert der Spannung aus dem Effektivwert der Spannung

Um den Spitzenwert der Spannung aus dem Effektivwert der Spannung zu berechnen, müssen wir den Effektivwert der Spannung mit einem Faktor von etwa 1,414 multiplizieren.

$V_{PEAK} = V_{RMS} \times \sqrt{2} = V_{RMS} \times 1.414$

Spitzenwert der Spannung aus dem Spitzen-Spitzen-Wert der Spannung

Der Spitzenwert der Spannung ist die Hälfte des Spitzen-Spitzen-Werts der Spannung.

$V_{PEAK} = V_{PP} \times 0.5$

Scheitelwert aus dem Durchschnittswert

Um den Scheitelwert aus dem Durchschnittswert zu berechnen, müssen wir den Durchschnittswert mit einem Faktor von etwa 1,57 multiplizieren.

$V_{PEAK} = V_{AVG} \times \frac{\pi}{2} = V_{RMS} \times 1.57$

Spitzen-Spitzen-Spannung

Die Spitzen-Spitzen-Spannung ist die Differenz zwischen der positiven Spitzen-Spannung und der negativen Spitzen-Spannung.

Für eine sinusförmige Spannungswelle wird die Spitzen-Spitzen-Spannung in der folgenden Abbildung dargestellt.

Spitzen-Spitzen-Spannung

Wir können die Spitzen-Spitzen-Spannung aus dem Effektivwert, dem Scheitelwert und dem Durchschnittswert berechnen.

Scheitelwert-Spannung aus RMS-Spannung

Um die Scheitelwert-Spannung aus der RMS-Spannung zu berechnen, ist 2,8284 der ungefähre Multiplikator.

$V_{PP} = V_{RMS} \times 2\sqrt{2} = V_{RMS} \times 2.8284$

Scheitelwert-Spannung aus Spitzenwert-Spannung

Die Scheitelwert-Spannung ist das Doppelte der Spitzenwert-Spannung.

$V_{PP} = V_{PEAK} \times 2$

Scheitelwert-Spannung aus Durchschnittsspannung

Um die Scheitelwert-Spannung aus der RMS-Spannung zu berechnen, ist 3,14 (π) der ungefähre Multiplikator.

$V_{PP} = V_{AVG} \times \pi = V_{AVG} \times 3.14$

Durchschnittsspannung

Die Methode zur Ermittlung der Durchschnittsspannung ist ähnlich wie bei der RMS-Spannung. Der einzige Unterschied besteht darin, dass die Momentanwerte nicht quadriert werden und keine Quadratwurzel gezogen wird.

Der Durchschnittswert gibt uns die horizontale Linie. Die Fläche oberhalb der horizontalen Linie ist gleich der Fläche unterhalb der horizontalen Linie. Es wird auch als Mittelspannung bezeichnet.

Wir können die Durchschnittsspannung aus der RMS-Spannung, der Spitzen-Spannung und der Spitzen-zu-Spitzen-Spannung berechnen.

Durchschnittsspannung aus RMS-Spannung

Um die Durchschnittsspannung aus der RMS-Spannung zu berechnen, ist 0,9 der ungefähre Multiplikatorfaktor.

$V_{AVG} = 0.9 V_{RMS}$