RMS 전압: 무엇인가요? (공식 및 계산 방법)

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RMS 전압이란?

RMS는 Root Mean Square의 약자입니다. RMS 전압은 전압 신호의 순간값들의 제곱 평균의 제곱근으로 정의됩니다. RMS는 또한 이차 평균이라고도 알려져 있습니다. 연속적으로 변하는 전압에 대해서는 주기 동안의 순간값들의 제곱의 적분을 통해 RMS 전압을 정의할 수도 있습니다.

RMS 값은 AC 신호의 경우 가장 중요합니다. AC 신호의 순간값은 시간에 따라 계속해서 변하기 때문입니다. DC 신호와 달리 AC 신호는 상대적으로 일정하지 않습니다.

따라서, 전압의 순간값은 직접 계산에 사용될 수 없습니다.

RMS 전압은 또한 DC 전압과 동등한 것으로 알려져 있으며, RMS 값은 저항에 의해 소비되는 AC 전력량이 DC 전원에서 소비되는 전력량과 유사하게 제공합니다.

예를 들어, 5Ω 부하가 10V DC 전원에 연결된 경우를 생각해보겠습니다. DC 전원의 경우에는 모든 순간의 전압 값이 일정하므로, 부하가 소비하는 전력은 쉽게 계산되며, 그 값은 20W입니다.

그러나 DC 전원 대신 AC 전원을 사용한다면, 전압 값은 시간에 따라 변하게 됩니다. 아래 그림에서 보여주는 것처럼 말입니다.

AC 신호는 대부분의 경우 위 그림에서 보이는 것처럼 사인파 신호입니다. 사인파 신호에서는 순간값이 변하기 때문에, 순간값을 사용하여 전력을 계산할 수 없습니다.

그러나 위 신호의 RMS 값을 찾으면 이를 사용하여 전력을 계산할 수 있습니다. 예를 들어 RMS 값이 10Vrms라고 가정하면, 부하가 소비하는 전력은 20W입니다.

우리 집에서 받는 전압은 RMS 전압입니다. 멀티미터도 교류 전력에 대해 RMS 값을 제공합니다. 그리고 전력 시스템에서도 시스템 전압을 사용하는데, 이 역시 RMS 값입니다.

RMS 전압 계산 방법

RMS 값은 시간에 따라 크기가 변하는 시간변화 파형에 대해서만 계산됩니다.

DC 파형의 경우 모든 순간에서 일정한 값을 가지므로 RMS 값을 찾을 수 없습니다.

RMS 값을 계산하는 두 가지 방법이 있습니다.

그래픽 방법
해석적 방법

그래픽 방법

이 방법에서는 파형을 사용하여 RMS 값을 찾습니다. 그래픽 방법은 신호가 대칭적이지 않거나 사인파가 아닌 경우 더 유용합니다.

이 방법의 정확성은 파형에서 가져온 점의 수에 따라 달라집니다. 적은 점수로는 낮은 정확성을, 많은 점수로는 높은 정확성을 얻을 수 있습니다.

RMS 값은 제곱 함수의 평균값의 제곱근입니다. 예를 들어, 아래 그림과 같이 전압의 사인파 형태를 고려해보겠습니다.

다음 단계를 따르면 그래픽 방법으로 RMS 전압을 계산할 수 있습니다.

단계 1: 파형을 동등한 부분으로 나눕니다. 여기서는 파형의 반주기를 고려합니다. 전체 주기를 고려할 수도 있습니다.

전반 주기의 첫 번째 반주기는 열 개의 같은 부분으로 나뉩니다; V1, V2, …, V10.

단계 2: 각 값의 제곱을 찾습니다.

$V_1^2, V_2^2, V_3^2, …, V_{10}^2$

단계 3: 이제 이 제곱값들의 평균을 구합니다. 이 값들의 총합을 구하고 전체 점의 수로 나눕니다.

$\frac{V_1^2+V_2^2+V_3^2+V_4^2+V_5^2+V_6^2+V_7^2+V_8^2+V_9^2+V_{10}^2}{10}$

단계 4: 이제 이 값의 제곱근을 구합니다.

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{V_1^2+V_2^2+V_3^2+V_4^2+V_5^2+V_6^2+V_7^2+V_8^2+V_9^2+V_{10}^2}{10}}$

이러한 단계는 모든 종류의 연속적인 파형에 대해 동일합니다.

삼각파, 사각파와 같은 다양한 시간변화 신호들에서도 이러한 단계를 따릅니다.

예제를 통해 이러한 단계를 해결해 보겠습니다.

아래 그림에 표시된 파형의 RMS 값을 찾으십시오. 순수한 정현파 전압을 고려하십시오.

단계 1: 첫 번째 반주기를 열 개의 동등한 부분으로 나눕니다. 그리고 이 부분들의 값은 그림에 표시되어 있습니다.

단계 2: 각 점의 제곱을 구합니다.

6.2	11.8	16.2	19	20	19	16.2	11.8	6.2	0
38.44	139.24	262.44	361	400	361	262.44	139.24	38.44	0

단계 3: 제곱값의 평균을 구합니다.

$\frac{38.44+139.24+262.44+361+400+361+262.44+139.24+38.44+0}{10} = 200.22$

단계 4: 제곱근을 찾습니다.

$\sqrt{200.22} = 14.15$

$V_{RMS} = 14.15 V$

분석적 방법

이 방법에서는 수학적 절차를 통해 RMS 전압을 계산할 수 있습니다. 이 방법은 순수한 사인파에 대해 더 정확합니다.

주기 T로 정의된 순수한 사인파 전압 파형 V_mCos(ωt)를 고려해보겠습니다.

여기서

Vm = 전압 파형의 최대값 또는 피크값

ω = 각주파수 = 2π/T주파수

이제 전압의 RMS 값을 계산합니다.

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} V_m^2 cos^2(\omega t) dt}$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{V_m^2}{T} \int_{0}^{T} cos^2(\omega t) dt}$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{V_m^2}{T} \int_{0}^{T} \frac{1+cos(2 \omega t)}{2} dt}$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{V_m^2}{2T} \int_{0}^{T} 1+cos(2 \omega t) dt}$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{ V_m^2}{2T} \left[ t + \frac{sin(2 \omega t)}{2 \omega} \right ]_0^T$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{ V_m^2}{2T} \left[ (T-0) + (\frac{sin(2 \omega T)}{2 \omega} - \frac{sin 0}{2 \omega} ) \right ]$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{ V_m^2}{2T} \left[ T + \frac{sin(2 \omega T)}{2 \omega} \right ]$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{ V_m^2}{2T} \left[ T + \frac{sin(2 \frac{2 \pi}{T} T)}{2 \frac{2 \pi}{T} } \right ]$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{ V_m^2}{2T} \left[ T +\frac{sin(4 \pi)}{2 \frac{2 \pi}{T}} \right ]$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{ V_m^2}{2T} [T+0]}$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{ V_m^2}{2}$

$V_{RMS} = V_m \frac{1}{\sqrt{2}}$

$V_{RMS} = V_m 0.7071$

따라서 순수 사인파의 RMS 값은 최대값으로부터 도출할 수 있습니다.

위 예제(그래픽 방법)에서 최대값은 20V입니다.

$V_{RMS} = 0.7071 \times 20$

$V_{RMS} = 14.142 V$

RMS 전압 공식

RMS 전압은 최대값, 피크-피크 값, 평균값으로부터 계산할 수 있습니다.

사인파의 경우 아래 공식을 사용하여 RMS 전압을 계산합니다.

피크 전압 (VP)에서;

$V_{RMS} = \frac{1}{\sqrt{2}} V_P = 0.7071 V_P$

피크 대 피크 전압 (VPP)에서;

$V_{RMS} = \frac{1}{2\sqrt{2}} V_{PP} = 0.353 V_{PP}$

평균 전압 (VAVG)에서;

$V_{RMS} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}} V_{AVG} = 1.11 V_{AVG}$

유효값 전압 대비 피크 전압 대비 피크-투-피크 전압 대비 평균 전압

유효값 전압은 교류 회로에서 다양한 계산에 필수적입니다. 마찬가지로 피크 전압, 피크-투-피크 전압, 그리고 평균 전압도 필요합니다.

피크 전압

피크 전압은 어떤 전압 파형의 최대 값으로 정의됩니다. 피크 값은 기준 축(0)에서 파형의 가장 높은 점까지 측정됩니다.

우리가 사인파를 고려하면, 전압 값은 기준 축에서 시작하여 양쪽의 파형의 피크 점까지 증가합니다. 이 두 점 사이의 차이가 양의 피크 전압을 제공합니다.

피크 점에서 전압은 감소하여 다시 기준 축에 도달합니다. 그 후, 음의 방향으로 증가하여 피크 점에 도달합니다. 이 점은 음의 피크 점입니다.

우리는 유효값 전압, 피크-투-피크 전압, 그리고 평균 전압으로부터 피크 전압을 계산할 수 있습니다.

유효값 전압으로부터 피크 전압

유효값 전압으로부터 피크 전압을 계산하려면, 유효값 전압을 약 1.414로 곱해야 합니다.

$V_{PEAK} = V_{RMS} \times \sqrt{2} = V_{RMS} \times 1.414$

피크-투-피크 전압으로부터 피크 전압

피크 전압은 피크-투-피크 전압의 절반입니다.

$V_{PEAK} = V_{PP} \times 0.5$

평균 전압에서 피크 전압

평균 전압에서 피크 전압을 계산하려면 평균 전압에 약 1.57의 인수를 곱해야 합니다.

$V_{PEAK} = V_{AVG} \times \frac{\pi}{2} = V_{RMS} \times 1.57$

피크 대 피크 전압

피크 대 피크 전압은 양의 피크 전압과 음의 피크 전압 간의 차이입니다.

정현파 형태의 경우 피크 대 피크 전압은 아래 그림과 같습니다.

피크 대 피크 전압

우리는 RMS 전압, 피크 전압 및 평균 전압으로부터 피크 대 피크 전압을 계산할 수 있습니다.

평균 제곱근 전압에서 피크-투-피크 전압

평균 제곱근 전압에서 피크-투-피크 전압을 계산하려면 2.8284가 근사적인 곱셈 인자입니다.

$V_{PP} = V_{RMS} \times 2\sqrt{2} = V_{RMS} \times 2.8284$

피크 전압에서 피크-투-피크 전압

피크-투-피크 전압은 피크 전압의 두 배입니다.

$V_{PP} = V_{PEAK} \times 2$

평균 전압에서 피크-투-피크 전압

평균 전압에서 피크-투-피크 전압을 계산하려면 3.14 (π)가 근사적인 곱셈 인자입니다.

$V_{PP} = V_{AVG} \times \pi = V_{AVG} \times 3.14$

평균 전압

평균 전압을 찾는 방법은 RMS 전압과 유사합니다. 유일한 차이는 순간 값이 제곱 함수가 아니며 제곱근을 취하지 않는다는 것입니다.

평균 값은 수평선을 제공합니다. 그리고 수평선 위의 영역은 수평선 아래의 영역과 같습니다. 이는 평균 전압으로도 알려져 있습니다.

우리는 RMS 전압, 피크 전압 및 피크-피크 전압에서 평균 전압을 계산할 수 있습니다.

RMS 전압에서 평균 전압

RMS 전압에서 평균 전압을 계산하려면 0.9가 대략적인 곱셈 인자입니다.

$V_{AVG} = 0.9 V_{RMS}$

피크 전압에서 평균 전압

피크 전압에서 평균 전압을 계산하려면 0.637이 대략적인 곱셈 인자입니다.

$V_{AVG} = V_{PEAK} \frac{2}{\pi} = 0.637 V_{PEAK}$

피크-투-피크 전압에서 평균 전압

피크-투-피크 전압으로부터 평균 전압을 계산하려면, 대략적인 곱셈 인자는 0.318입니다.

$V_{AVG} = 0.318 V_{PP}$

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