RMS電圧：それは何ですか？（公式と計算方法）

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RMS電圧とは何か

RMSはRoot Mean Square（平方平均の平方根）の略です。RMS電圧は、電圧信号の瞬時値の二乗の平均の平方根として定義されます。電圧RMSはまた、二次平均とも呼ばれます。RMS電圧は、周期中の瞬時値の二乗の積分によっても定義できます。

RMS値はAC信号の場合に最も重要です。なぜなら、AC信号の瞬時値は時間とともに連続的に変化するからです。一方、DC信号は比較的一定です。

したがって、電圧の瞬時値を直接計算に使用することはできません。

RMS電圧はまた、等価なDC電圧とも呼ばれ、RMS値は抵抗により引き出されるAC電力と、DC源により引き出される電力が似ていることを示します。

例えば、5Ωの負荷を10VのDC源に接続した場合を考えます。DC源の場合、電圧の値は時間の全ての瞬間に一定です。したがって、負荷によって引き出される電力は簡単に計算でき、それは20Wです。

しかし、DC源ではなくAC源を使用した場合、電圧の値は時間とともに変化します。下図のように表されます。

AC信号は上記の図のように、ほとんどの場合正弦波信号です。正弦波信号では瞬時値が変動するため、瞬時値を用いて電力を計算することはできません。

しかし、上記信号のRMS値を求めることができれば、それを用いて電力を計算することができます。RMS値が10Vrmsであるとすると、負荷によって放出される電力は20Wになります。

家庭で受け取る電圧は有効値です。マルチメーターも交流電力の有効値を示します。そして、電力システムでは、有効値であるシステム電圧を使用します。

有効値の計算方法

有効値は、時間とともに量の大きさが変化する時変波形に対してのみ計算されます。

直流波形には一定の値しかないので、その有効値を計算することはできません。

有効値を計算する方法は2つあります。

グラフィカル法
解析法

グラフィカル法

この方法では、波形を使って有効値を求めます。グラフィカル法は、信号が非対称または正弦波でない場合に特に有用です。

この方法の精度は、波形から取り出される点の数によって決まります。少ない点数では精度が低くなり、多くの点数では精度が高くなります。

有効値は、関数の二乗の平均値の平方根です。例えば、以下の図に示すような正弦波形の電圧を考えてみましょう。

グラフィカル法による有効値の計算手順は以下の通りです。

ステップ1: 波形を等しい部分に分割します。ここでは、波形の半周期を考慮しています。全周期を考えることもできます。

最初の半周期を10等分に分けます。V1, V2, …, V10。

ステップ2：各値の平方を求めます。

$V_1^2, V_2^2, V_3^2, …, V_{10}^2$

ステップ3：これらの平方値の平均を求めます。これらの値の合計を計算し、点の総数で割ります。

$\frac{V_1^2+V_2^2+V_3^2+V_4^2+V_5^2+V_6^2+V_7^2+V_8^2+V_9^2+V_{10}^2}{10}$

ステップ4：この値の平方根を求めます。

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{V_1^2+V_2^2+V_3^2+V_4^2+V_5^2+V_6^2+V_7^2+V_8^2+V_9^2+V_{10}^2}{10}}$

これらの手順はすべての連続波形に対して同じです。

三角波や矩形波などの時間変動信号に対して、これらの手順に従ってRMS電圧を求めることができます。

例を使ってこれらの手順を解説します。

以下の図に示された波形のRMS値を見つけてください。純粋な正弦波電圧を考慮してください。

ステップ1：最初の半周期を10等分します。これらの部分の値は図に示されています。

ステップ2：各点の二乗を求めます。

6.2	11.8	16.2	19	20	19	16.2	11.8	6.2	0
38.44	139.24	262.44	361	400	361	262.44	139.24	38.44	0

ステップ3: 二乗値の平均をとる。

$\frac{38.44+139.24+262.44+361+400+361+262.44+139.24+38.44+0}{10} = 200.22$

ステップ4: 平方根を求める。

$\sqrt{200.22} = 14.15$

$V_{RMS} = 14.15 V$

解析法

この方法では、数学的な手順によってRMS電圧を計算することができます。この方法は純粋な正弦波形に対してより正確です。

周期Tを持つ純粋な正弦波形の電圧波形V_mCos(ωt)を考慮する。

ここで

Vm = 電圧波形の最大値またはピーク値

ω = 角周波数 = 2π/T

次に、電圧のRMS値を計算します。

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} V_m^2 cos^2(\omega t) dt}$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{V_m^2}{T} \int_{0}^{T} cos^2(\omega t) dt}$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{V_m^2}{T} \int_{0}^{T} \frac{1+cos(2 \omega t)}{2} dt}$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{V_m^2}{2T} \int_{0}^{T} 1+cos(2 \omega t) dt}$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{ V_m^2}{2T} \left[ t + \frac{sin(2 \omega t)}{2 \omega} \right ]_0^T$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{ V_m^2}{2T} \left[ (T-0) + (\frac{sin(2 \omega T)}{2 \omega} - \frac{sin 0}{2 \omega} ) \right ]$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{ V_m^2}{2T} \left[ T + \frac{sin(2 \omega T)}{2 \omega} \right ]$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{ V_m^2}{2T} \left[ T + \frac{sin(2 \frac{2 \pi}{T} T)}{2 \frac{2 \pi}{T} } \right ]$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{ V_m^2}{2T} \left[ T +\frac{sin(4 \pi)}{2 \frac{2 \pi}{T}} \right ]$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{ V_m^2}{2T} [T+0]}$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{ V_m^2}{2}$

$V_{RMS} = V_m \frac{1}{\sqrt{2}}$

$V_{RMS} = V_m 0.7071$

したがって、純粋な正弦波形のRMS値はピーク（最大）値から導き出すことができます。

上記の例（グラフィカル方法）では、ピーク値は20Vです。

$V_{RMS} = 0.7071 \times 20$

$V_{RMS} = 14.142 V$

RMS電圧の公式

RMS電圧はピーク値、ピークツーピーク値、および平均値から計算できます。

正弦波形の場合、以下の式を使用してRMS電圧を計算します。

ピーク電圧 (VP) から;

$V_{RMS} = \frac{1}{\sqrt{2}} V_P = 0.7071 V_P$

ピーク間電圧 (VPP) から;

$V_{RMS} = \frac{1}{2\sqrt{2}} V_{PP} = 0.353 V_{PP}$

平均電圧 (VAVG) から;

$V_{RMS} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}} V_{AVG} = 1.11 V_{AVG}$

RMS電圧 vs ピーク電圧 vs ピークツーピーク電圧 vs 平均電圧

RMS電圧は交流回路での様々な計算に不可欠です。同様に、ピーク電圧、ピークツーピーク電圧、および平均電圧も必要です。

ピーク電圧

ピーク電圧とは、任意の電圧波形における最大値を指します。ピーク値は、基準軸（0）から波形の最高点までの距離で測定されます。

正弦波を考えると、電圧値は基準軸から増加し、波形の正側のピーク点に達します。これらの2点間の差が正のピーク電圧となります。

ピーク点から電圧は減少し、基準軸に達します。その後、負側で増加し、ピーク点に到達します。この点が負のピーク点です。

ピーク電圧は、RMS電圧、ピークツーピーク電圧、および平均電圧から計算することができます。

RMS電圧からのピーク電圧

RMS電圧からピーク電圧を計算するには、RMS電圧に約1.414の係数を乗じる必要があります。

$V_{PEAK} = V_{RMS} \times \sqrt{2} = V_{RMS} \times 1.414$

ピークツーピーク電圧からのピーク電圧

ピーク電圧はピークツーピーク電圧の半分です。

$V_{PEAK} = V_{PP} \times 0.5$

平均電圧からのピーク電圧

平均電圧からピーク電圧を計算するには、平均電圧に約1.57の係数を乗じる必要があります。

$V_{PEAK} = V_{AVG} \times \frac{\pi}{2} = V_{RMS} \times 1.57$

ピーク間電圧

ピーク間電圧は、正のピーク電圧と負のピーク電圧の差です。

正弦波の場合、ピーク間電圧は以下の図に示されています。

ピーク間電圧

ピーク間電圧は、RMS電圧、ピーク電圧、および平均電圧から計算することができます。

RMS電圧からのピークツーピーク電圧

RMS電圧からピークツーピーク電圧を計算するには、約2.8284が乗数係数となります。

$V_{PP} = V_{RMS} \times 2\sqrt{2} = V_{RMS} \times 2.8284$

ピーク電圧からのピークツーピーク電圧

ピークツーピーク電圧はピーク電圧の2倍です。

$V_{PP} = V_{PEAK} \times 2$

平均電圧からのピークツーピーク電圧

RMS電圧からピークツーピーク電圧を計算するには、約3.14（π）が乗数係数となります。

$V_{PP} = V_{AVG} \times \pi = V_{AVG} \times 3.14$

平均電圧

平均電圧を求める方法は、RMS電圧と似ています。唯一の違いは、瞬時値が2乗関数ではなく、平方根を取りません。

平均値は水平線を与えます。そして、水平線の上部の面積は水平線の下部の面積と同じです。これはまた、平均電圧とも呼ばれます。

私たちはRMS電圧、ピーク電圧、ピークツーピーク電圧から平均電圧を計算することができます。

RMS電圧からの平均電圧

RMS電圧から平均電圧を計算するには、約0.9が近似乗数因子となります。

$V_{AVG} = 0.9 V_{RMS}$

ピーク電圧からの平均電圧

ピーク電圧から平均電圧を計算するには、約0.637が近似乗数因子となります。

$V_{AVG} = V_{PEAK} \frac{2}{\pi} = 0.637 V_{PEAK}$

ピーク間電圧からの平均電圧

ピーク間電圧から平均電圧を計算するには、約0.318が乗数係数となります。

$V_{AVG} = 0.318 V_{PP}$

出典：Electrical4u
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