ولتاژ RMS: چیست؟ (فرمول و نحوه محاسبه آن)

Electrical4u

فیلد: مقدماتی برق

China

ولت چیست؟

واژه RMS مخفف Root Mean Square است. ولت RMS به معنای جذر میانگین مربع مقادیر لحظه‌ای سیگنال ولت است. RMS همچنین به عنوان میانگین درجه دوم شناخته می‌شود. ولت RMS می‌تواند برای ولت متغیر مستمر نیز تعریف شود که از طریق انتگرال مربع مقادیر لحظه‌ای در طول یک دوره محاسبه می‌شود.

مقدار RMS در مورد سیگنال AC بسیار مهم است. زیرا مقدار لحظه‌ای سیگنال AC با توجه به زمان به طور مداوم متغیر است. در حالی که سیگنال DC نسبتاً ثابت است.

بنابراین، مقدار لحظه‌ای ولت نمی‌تواند به طور مستقیم برای محاسبه استفاده شود.

ولت RMS همچنین به عنوان ولت DC معادل شناخته می‌شود زیرا مقدار RMS میزان توان AC کشیده شده توسط یک مقاومت مشابه با توان کشیده شده توسط منبع DC را نشان می‌دهد.

به عنوان مثال، فرض کنید یک بار ۵Ω با یک منبع ۱۰V DC متصل شده است. در مورد منبع DC، مقدار ولت در هر لحظه ثابت است. بنابراین، توان کشیده شده توسط بار به راحتی محاسبه می‌شود و آن ۲۰W است.

اما به جای منبع DC، فرض کنید از یک منبع AC استفاده می‌کنیم. در این شرایط، مقدار ولت با توجه به زمان متفاوت است، همانطور که در شکل زیر نشان داده شده است.

سیگنال AC در بیشتر شرایط یک سیگنال موج سینوسی است، همانطور که در شکل بالا نشان داده شده است. چون در یک سیگنال موج سینوسی مقدار لحظه‌ای متفاوت است، نمی‌توانیم مقدار لحظه‌ای را برای محاسبه توان استفاده کنیم.

اما اگر مقدار RMS سیگنال فوق را پیدا کنیم، می‌توانیم آن را برای یافتن توان استفاده کنیم. فرض کنید مقدار RMS ۱۰Vrms است. توان تلف شده توسط بار ۲۰W است.

ولتربی که در خانه می‌گیریم ولتاژ RMS است. دستگاه‌های اندازه‌گیری چندکاره نیز برای توان متناوب مقدار RMS را نشان می‌دهند. و در یک سیستم برق، از ولتاژ سیستم استفاده می‌کنیم که نیز مقدار RMS است.

چگونه مقدار RMS ولتاژ را محاسبه کنیم

مقدار RMS فقط برای موج‌های متغیر با زمان محاسبه می‌شود که دامنه آنها با توجه به زمان تغییر می‌کند.

نمی‌توانیم مقدار RMS برای موج مستقیم (DC) را پیدا کنیم زیرا موج DC در هر لحظه دارای مقدار ثابت است.

روش‌های دوگانه برای محاسبه مقدار RMS وجود دارد.

روش گرافیکی
روش تحلیلی

روش گرافیکی

در این روش، از یک موج برای یافتن مقدار RMS استفاده می‌کنیم. روش گرافیکی زمانی مفیدتر است که سیگنال متقارن یا سینوسی نباشد.

دقت این روش به تعداد نقاطی که از موج گرفته می‌شود بستگی دارد. تعداد کم نقاط منجر به دقت کم و تعداد زیاد نقاط منجر به دقت بالا می‌شود.

مقدار RMS ریشه دوم مقدار متوسط تابع مربع شده است. به عنوان مثال، فرض کنید یک موج سینوسی ولتاژ مانند شکل زیر داریم.

مراحل زیر را برای محاسبه ولتاژ RMS با روش گرافیکی دنبال کنید.

مرحله ۱: موج را به قسمت‌های مساوی تقسیم کنید. در اینجا، نیم دوره موج را در نظر می‌گیریم. می‌توانید دوره کامل را نیز در نظر بگیرید.

نیمه اول سیکل به ده قسمت مساوی تقسیم می‌شود؛ V۱, V۲, …, V۱۰.

گام-۲: مربع هر مقدار را پیدا کنید.

$V_1^2, V_2^2, V_3^2, …, V_{10}^2$

گام-۳: میانگین این مقادیر مربع را بگیرید. مجموع این مقادیر را پیدا کنید و بر تعداد کل نقاط تقسیم کنید.

$\frac{V_1^2+V_2^2+V_3^2+V_4^2+V_5^2+V_6^2+V_7^2+V_8^2+V_9^2+V_{10}^2}{10}$

گام-۴ حالا، جذر این مقدار را بگیرید.

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{V_1^2+V_2^2+V_3^2+V_4^2+V_5^2+V_6^2+V_7^2+V_8^2+V_9^2+V_{10}^2}{10}}$

این مراحل برای تمام انواع نمودارهای مداوم یکسان است.

برای انواع مختلف سیگنال‌های متغیر با زمان مانند مثلثی، مربعی؛ این مراحل برای یافتن ولتاژ RMS دنبال می‌شوند.

بیایید این مراحل را با یک مثال حل کنیم.

مقدار میانگین مربع (RMS) شکل موج نشان داده شده در شکل زیر را پیدا کنید. فرض کنید این موج ولتاژی خالص سینوسی است.

گام ۱: نیمه‌چرخه اول به ده قسمت مساوی تقسیم می‌شود. مقادیر این بخش‌ها همانطور که در شکل نشان داده شده است.

گام ۲: مربع هر نقطه را پیدا کنید.

۶.۲	۱۱.۸	۱۶.۲	۱۹	۲۰	۱۹	۱۶.۲	۱۱.۸	۶.۲	۰
۳۸.۴۴	۱۳۹.۲۴	۲۶۲.۴۴	۳۶۱	۴۰۰	۳۶۱	۲۶۲.۴۴	۱۳۹.۲۴	۳۸.۴۴	۰

گام-۳: میانگین مقادیر مجذور را محاسبه کنید.

$\frac{38.44+139.24+262.44+361+400+361+262.44+139.24+38.44+0}{10} = 200.22$

گام-۴: جذر را محاسبه کنید.

$\sqrt{200.22} = 14.15$

$V_{RMS} = 14.15 V$

روش تحلیلی

در این روش، ولتاژ RMS با استفاده از یک روش ریاضی محاسبه می‌شود. این روش برای موج‌های سینوسی خالص دقیق‌تر است.

موج ولتاژ سینوسی خالص به صورت V_mCos(ωt) با دوره T در نظر بگیرید.

که،

Vم = بیشترین مقدار یا حداکثر مقدار شکل موج ولتاژ

ω = فرکانس زاویه‌ای = ۲π/T

حالا، ما مقدار RMS ولتاژ را محاسبه می‌کنیم.

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} V_m^2 cos^2(\omega t) dt}$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{V_m^2}{T} \int_{0}^{T} cos^2(\omega t) dt}$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{V_m^2}{T} \int_{0}^{T} \frac{1+cos(2 \omega t)}{2} dt}$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{V_m^2}{2T} \int_{0}^{T} 1+cos(2 \omega t) dt}$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{ V_m^2}{2T} \left[ t + \frac{sin(2 \omega t)}{2 \omega} \right ]_0^T$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{ V_m^2}{2T} \left[ (T-0) + (\frac{sin(2 \omega T)}{2 \omega} - \frac{sin 0}{2 \omega} ) \right ]$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{ V_m^2}{2T} \left[ T + \frac{sin(2 \omega T)}{2 \omega} \right ]$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{ V_m^2}{2T} \left[ T + \frac{sin(2 \frac{2 \pi}{T} T)}{2 \frac{2 \pi}{T} } \right ]$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{ V_m^2}{2T} \left[ T +\frac{sin(4 \pi)}{2 \frac{2 \pi}{T}} \right ]$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{ V_m^2}{2T} [T+0]}$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{ V_m^2}{2}$

$V_{RMS} = V_m \frac{1}{\sqrt{2}}$

$V_{RMS} = V_m 0.7071$

بنابراین، مقدار RMS یک شکل موج سینوسی خالص می‌تواند از مقدار پیک (حداکثر) به دست آید.

در مثال بالا (روش گرافیکی)، مقدار پیک ۲۰ ولت است.

$V_{RMS} = 0.7071 \times 20$

$V_{RMS} = 14.142 V$

فرمول ولتاژ RMS

می‌توان ولتاژ RMS را از مقادیر پیک، پیک به پیک و میانگین محاسبه کرد.

برای شکل موج سینوسی، فرمول‌های زیر برای محاسبه ولتاژ RMS استفاده می‌شود.

از ولتاژ پیک (VP);

$V_{RMS} = \frac{1}{\sqrt{2}} V_P = 0.7071 V_P$

از ولتاژ پیک به پیک (VPP);

$V_{RMS} = \frac{1}{2\sqrt{2}} V_{PP} = 0.353 V_{PP}$

از ولتاژ متوسط (VAVG);

$V_{RMS} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}} V_{AVG} = 1.11 V_{AVG}$

ولتاژ RMS در مقایسه با ولتاژ قله‌ای در مقایسه با ولتاژ قله‌به‌قله در مقایسه با ولتاژ میانگین

ولتاژ RMS برای محاسبات مختلف در مدارهای جریان متناوب ضروری است. به طور مشابه، ولتاژ قله‌ای، ولتاژ قله‌به‌قله و ولتاژ میانگین نیز ضروری هستند.

ولتاژ قله‌ای

ولتاژ قله‌ای به حداکثر مقدار ولتاژ برای هر موج ولتاژی تعریف می‌شود. مقدار قله‌ای از محور مرجع (صفر) تا نقطه بالاترین موج اندازه‌گیری می‌شود.

اگر یک موج سینوسی را در نظر بگیریم، مقدار ولتاژ از محور مرجع افزایش می‌یابد و به نقطه قله‌ای موج در سمت مثبت می‌رسد. تفاوت بین این دو نقطه ولتاژ قله‌ای مثبت را به ما می‌دهد.

از نقطه قله‌ای، ولتاژ شروع به کاهش می‌کند و به محور مرجع می‌رسد. پس از آن، شروع به افزایش در سمت منفی می‌کند و به نقطه قله‌ای می‌رسد. این نقطه یک نقطه قله‌ای منفی است.

می‌توانیم ولتاژ قله‌ای را از ولتاژ RMS، ولتاژ قله‌به‌قله و ولتاژ میانگین محاسبه کنیم.

ولتاژ قله‌ای از ولتاژ RMS

برای محاسبه ولتاژ قله‌ای از ولتاژ RMS، باید ولتاژ RMS را در عامل تقریبی ۱.۴۱۴ ضرب کنیم.

$V_{PEAK} = V_{RMS} \times \sqrt{2} = V_{RMS} \times 1.414$

ولتاژ قله‌ای از ولتاژ قله‌به‌قله

ولتاژ قله‌ای نصف ولتاژ قله‌به‌قله است.

$V_{PEAK} = V_{PP} \times 0.5$

ولتیج حداکثر از ولتاژ متوسط

برای محاسبه ولتاژ حداکثر از ولتاژ متوسط، باید ولتاژ متوسط را در یک عامل تقریبی ۱.۵۷ ضرب کنیم.

$V_{PEAK} = V_{AVG} \times \frac{\pi}{2} = V_{RMS} \times 1.57$

ولتاژ حداکثر به حداکثر

ولتاژ حداکثر به حداکثر تفاوت بین ولتاژ حداکثر مثبت و ولتاژ حداکثر منفی است.

برای یک موج سینوسی، ولتاژ حداکثر به حداکثر در شکل زیر نشان داده شده است.

ولتاژ حداکثر به حداکثر

می‌توانیم ولتاژ حداکثر به حداکثر را از ولتاژ RMS، ولتاژ حداکثر و ولتاژ متوسط محاسبه کنیم.

ولتافی از ریشه مربعی به ولتاژ قله‌ای-به-قله‌ای

برای محاسبه ولتاژ قله‌ای-به-قله‌ای از ولتاژ ریشه مربعی، ضریب تقریبی ۲.۸۲۸۴ است.

$V_{PP} = V_{RMS} \times 2\sqrt{2} = V_{RMS} \times 2.8284$

ولتاژ قله‌ای-به-قله‌ای از ولتاژ قله‌ای

ولتاژ قله‌ای-به-قله‌ای دو برابر ولتاژ قله‌ای است.

$V_{PP} = V_{PEAK} \times 2$

ولتاژ قله‌ای-به-قله‌ای از ولتاژ متوسط

برای محاسبه ولتاژ قله‌ای-به-قله‌ای از ولتاژ متوسط، ضریب تقریبی ۳.۱۴ (π) است.

$V_{PP} = V_{AVG} \times \pi = V_{AVG} \times 3.14$

ولتاژ میانگین

روش محاسبه ولتاژ میانگین مشابه با ولتاژ ریشه میانگین مربع (RMS) است. تنها تفاوت آن این است که مقادیر لحظه‌ای به توان دو نمی‌رسند و ریشه دوم نمی‌گیرند.

مقدار میانگین خط افقی را به ما می‌دهد. و مساحت بالای خط افقی با مساحت زیر خط افقی برابر است. این مقدار همچنین به عنوان ولتاژ میانگین شناخته می‌شود.

می‌توانیم ولتاژ میانگین را از ولتاژ RMS، ولتاژ قله، و ولتاژ قله به قله محاسبه کنیم.

ولتاژ میانگین از ولتاژ RMS

برای محاسبه ولتاژ میانگین از ولتاژ RMS، ضریب تقریبی ۰.۹ است.

$V_{AVG} = 0.9 V_{RMS}$