מתח RMS: מה זה? (נוסחה ואיך לחשב אותו)

Electrical4u

שדה: אלקטרוניקה בסיסית

China

מהו מתח RMS?

המונח RMS מייצג את השורש הריבועי של הממוצע. מתח RMS מוגדר כשורש ריבועי ממוצע של ערכים מיידיים של מתח הסימן. המתח RMS מכונה גם ממוצע ריבועי. ניתן להגדיר מתח RMS גם עבור מתח משתנה באופן מתמשך באמצעות אינטגרל של ריבועי הערכים המיידיים במהלך מחזור.

הערך RMS הוא חשוב ביותר במקרה של אות חילופין. מכיוון שהערך המיידי של אות חילופין משתנה באופן מתמשך עם הזמן. בניגוד לאות ישר, שהוא יחסית קבוע.

לכן, לא ניתן להשתמש בערך המיידי של המתח ישירות לחישוב.

מתח RMS מכונה גם מתח DC שקול כי הערך RMS נותן את כמות החשמל החילופין שנצרך על ידי נגד דומה לכמות החשמל שנצרך על ידי מקור DC.

לדוגמה, ניקח עומס של 5Ω המחובר למקור DC של 10V. במקרה של מקור DC, ערך המתח קבוע לכל רגע בזמן. לכן, ניתן לחשב בקלות את החשמל שנצרך על ידי העומס והוא 20W.

אבל במקום מקור DC, נניח שאנו משתמשים במקור חילופין. במצב זה, ערך המתח משתנה בהתאם לזמן, כפי שמוצג בתמונה להלן.

אות החילופין הוא אות גלי סינוס ברוב המקרים, כפי שמוצג בתמונה למעלה. מכיוון שעבור אות גלי סינוס הערכים המיידיים משתנים, לא ניתן להשתמש בערכים אלו לחישוב החשמל.

אבל אם נמצא את הערך RMS של האות הזה, נוכל להשתמש בו כדי למצוא את החשמל. נניח שהערך RMS הוא 10Vrms. החשמל שנצרך על ידי העומס הוא 20W.

המתח שאנחנו מקבלים בבית הוא מתח RMS. מדדי רב-תכלית נותנים גם ערך RMS עבור חשמל חילופין. ובמערכת חשמל, אנו משתמשים במתח מערכת שהוא גם ערך RMS.

איך לחשב מתח RMS

ערך ה-RMS מחושב רק עבור צורות גל משתנות בזמן, שבהן הגודל של הכמות משתנה בהתאם לזמן.

לא ניתן למצוא את ערך ה-RMS עבור צורת גל DC מכיוון שצורת הגל DC היא קבועה בכל רגע זמן.

ישנן שתי שיטות לחישוב ערך RMS.

שיטה גרפית
שיטה אנליטית

שיטה גרפית

בשיטה זו, אנו משתמשים בצורת גל כדי למצוא את ערך ה-RMS. השיטה הגרפית היא יותר שימושית כאשר האות אינו סימטרי או סינוסואידלי.

הדיוק בשיטה זו תלוי במספר הנקודות שנלקחות מהצורה של הגל. מספר נקודות קטן מוביל לדיוק נמוך, ומספר נקודות גדול מוביל לדיוק גבוה.

ערך ה-RMS הוא שורש הריבועי של הממוצע של הפונקציה בריבוע. למשל, ניקח צורת גל סינוסואידלית של מתח כפי שמוצג בציור שלהלן.

עקבו אחר השלבים הבאים לחישוב מתח ה-RMS בשיטה גרפית.

שלב 1: הפרדו את צורת הגל לחלקים שווים. כאן, אנחנו מתייחסים למחצית מחזור של הצורה של הגל. אפשר להתייחס גם למחזור מלא.

המחצית הראשונה מחולקת ל-10 חלקים שווים; V1, V2, ..., V10.

שלב 2: מצא את הריבוע של כל ערך.

$V_1^2, V_2^2, V_3^2, …, V_{10}^2$

שלב 3: קח את הממוצע של הערכים הריבועיים. מצא את הסכום של הערכים הללו וחלק אותו במספר הנקודות הכולל.

$\frac{V_1^2+V_2^2+V_3^2+V_4^2+V_5^2+V_6^2+V_7^2+V_8^2+V_9^2+V_{10}^2}{10}$

שלב 4 עכשיו, קח את השורש הריבועי של הערך הזה.

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{V_1^2+V_2^2+V_3^2+V_4^2+V_5^2+V_6^2+V_7^2+V_8^2+V_9^2+V_{10}^2}{10}}$

הצעדים הללו זהים לכל סוג של גלי מתח מתמשכים.

לסוגים שונים של אותות משתנים בזמן כמו משולשים, מרובעים; הצעדים הללו נלקחים כדי למצוא את מתח ה-RMS.

בואו נפתור את הצעדים הללו עם דוגמה.

מצא את ערך ה-RMS של הצורה המוצגת בתרשים שלהלן. התייחס לגל סינוסואידלי טהור של מתח.

שלב 1: חצי מחזור הראשון מתחלק לעשרה חלקים שווים. והערכים של החלקים הללו הם כמו שמוצג בתרשים.

שלב 2: מצא את הריבוע של כל נקודה.

6.2	11.8	16.2	19	20	19	16.2	11.8	6.2	0
38.44	139.24	262.44	361	400	361	262.44	139.24	38.44	0

שלב 3: חישוב ממוצע של הערכים המרובעים.

$\frac{38.44+139.24+262.44+361+400+361+262.44+139.24+38.44+0}{10} = 200.22$

שלב 4: מציאת השורש הריבועי.

$\sqrt{200.22} = 14.15$

$V_{RMS} = 14.15 V$

שיטת ניתוח

בשיטה זו, ניתן לחשב את מתח ה-RMS באמצעות תהליך מתמטי. שיטה זו היא יותר מדוייקת עבור צורת גל סינוסית טהורה.

נניח צורת גל מתח סינוסית טהורה המוגדרת כ- VmCos(ωt) עם מחזור T.

כאשר,

Vm = הערך המרבי או ערך השיא של צורת הגל של מתח

ω = תדירות זוויתית = 2π/T

כעת, אנו מחשבים את ערך המתח RMS.

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} V_m^2 cos^2(\omega t) dt}$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{V_m^2}{T} \int_{0}^{T} cos^2(\omega t) dt}$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{V_m^2}{T} \int_{0}^{T} \frac{1+cos(2 \omega t)}{2} dt}$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{V_m^2}{2T} \int_{0}^{T} 1+cos(2 \omega t) dt}$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{ V_m^2}{2T} \left[ t + \frac{sin(2 \omega t)}{2 \omega} \right ]_0^T$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{ V_m^2}{2T} \left[ (T-0) + (\frac{sin(2 \omega T)}{2 \omega} - \frac{sin 0}{2 \omega} ) \right ]$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{ V_m^2}{2T} \left[ T + \frac{sin(2 \omega T)}{2 \omega} \right ]$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{ V_m^2}{2T} \left[ T + \frac{sin(2 \frac{2 \pi}{T} T)}{2 \frac{2 \pi}{T} } \right ]$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{ V_m^2}{2T} \left[ T +\frac{sin(4 \pi)}{2 \frac{2 \pi}{T}} \right ]$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{ V_m^2}{2T} [T+0]}$

$V_{RMS} = \sqrt{\frac{ V_m^2}{2}$

$V_{RMS} = V_m \frac{1}{\sqrt{2}}$

$V_{RMS} = V_m 0.7071$

לכן, ערך RMS של גל סינוסואידלי טהור ניתן להסיק מהערך השיאי (מקסימלי).

בדוגמה לעיל (שיטת גרפית), הערך השיאי הוא 20V.

$V_{RMS} = 0.7071 \times 20$

$V_{RMS} = 14.142 V$

נוסחת מתח RMS

מתח RMS ניתן לחשב מתוך הערך השיאי, הערך השיאי-לשיאי, והערך הממוצע.

עבור גל סינוסואידלי, הנוסחאות הבאות משמשות לחישוב מתח RMS.

ממתח שיא (VP);

$V_{RMS} = \frac{1}{\sqrt{2}} V_P = 0.7071 V_P$

ממתח שיא לשיא (VPP);

$V_{RMS} = \frac{1}{2\sqrt{2}} V_{PP} = 0.353 V_{PP}$

ממתח ממוצע (VAVG);

$V_{RMS} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}} V_{AVG} = 1.11 V_{AVG}$

מתח RMS לעומת מתח פסגה לעומת מתח פסגה לפסגה לעומת מתח ממוצע

מתח ה-RMS הוא חיוני לחישובים שונים במעגלים חילופיים. באופן דומה, מתח פסגה, מתח פסגה-לפסגה ומתח ממוצע הם גם כן הכרחיים.

מתח פסגה

מתח פסגה מוגדר כערך המרבי של מתח עבור כל צורת גל של מתח. ערך הפסגה נמדד מהציר المرجعي (0) עד לשיא הצורה של הגל.

אם ניקח בחשבון צורת גל סינוסואידלית, ערך המתח עולה מהציר המרגעי ומגיע לשיא הצורה של הגל על הצד החיובי. ההבדל בין שתי הנקודות האלו נותן לנו את מתח הפסגה החיובי.

מהנקודה השיאית, המתח מתחיל להוריד ומגיע לציר המרגעי. אחר כך, הוא מתחיל לעלות על הצד השלילי ומגיע לשיא. זה הוא נקודת הפסגה השלילית.

ניתן לחשב מתח פסגה ממתח ה-RMS, מתח פסגה-לפסגה ומתח ממוצע.

מתח פסגה ממתח RMS

כדי לחשב מתח פסגה ממתח RMS, יש להכפיל את מתח ה-RMS בפקטור של בערך 1.414.

$V_{PEAK} = V_{RMS} \times \sqrt{2} = V_{RMS} \times 1.414$