Tijdrespons van een tweede orde regelsysteem (uitgewerkt voorbeeld)

De orde van een regelsysteem wordt bepaald door de macht van 's' in de noemer van de overdrachtsfunctie.

Als de macht van s in de noemer van de overdrachtsfunctie van een regelsysteem 2 is, dan wordt het systeem een tweede orde regelsysteem genoemd.

De algemene uitdrukking voor de overdrachtsfunctie van een tweede orde regelsysteem is gegeven als

Hierbij zijn ζ en ωn respectievelijk de demping en de natuurlijke frequentie van het systeem (we zullen deze twee termen later in detail bespreken).

Na herordenen van de bovenstaande formule, wordt de uitvoer van het systeem gegeven als

Als we een eenheidstapfunctie als invoer voor het systeem beschouwen, dan kan de uitvoervergelijking van het systeem worden herschreven als

Door de inverse Laplace-transformatie van de bovenstaande vergelijking te nemen, krijgen we

De bovenstaande uitdrukking voor de uitvoer c(t) kan worden herschreven als

De fout van het signaal van de respons wordt gegeven door e(t) = r(t) – c(t), en dus.

Uit de bovenstaande uitdrukking blijkt duidelijk dat de fout van het signaal van oscillatie-type is met exponentieel afnemende grootte wanneer ζ < 1.

De frequentie van de oscillatie is ωd en de tijdconstante van de exponentiële afname is 1/ζωn.

Waarbij, ωd, de gedempte frequentie van de oscillatie wordt genoemd, en ωn de natuurlijke frequentie van de oscillatie. De term ζ heeft veel invloed op de demping en daarom wordt deze term de dempingsverhouding genoemd.

Er zullen verschillende gedragingen van het uitvoersignaal zijn, afhankelijk van de waarde van de dempingsverhouding, laten we elke situatie een voor een onderzoeken.

Met dit als basis zullen we de tijdsrespons van een tweede orde regelsysteem analyseren. We doen dit door de eenheidstaprespons van een tweede orde regelsysteem in het frequentiedomein te analyseren, voordat we het omzetten naar het tijdsdomein.

Eenheidstaprespons van een tweede orde systeem

Wanneer de dempingsverhouding nul is, kunnen we de bovenstaande uitdrukking voor het uitvoersignaal herschrijven als

Aangezien in deze uitdrukking geen exponentiële term aanwezig is, is de tijdsrespons van het regelsysteem ongedempt voor een eenheidstapinvoerfunctie met nul dempingsverhouding.

Pagina 137. Figuur 6.4.3. van het boek Automatische regelsystemen door Hasan.

Laten we nu de situatie onderzoeken wanneer de dempingsverhouding één is.



In deze uitdrukking voor het uitvoersignaal is er geen oscillerend deel in de eenheidstapfunctie. En daarom wordt deze tijdsrespons van een tweede orde regelsysteem kritisch gedempt genoemd.

Nu zullen we de tijdsrespons van een tweede orde regelsysteem onderzoeken voor een eenheidstapinvoerfunctie wanneer de dempingsverhouding groter is dan één.

Door de inverse Laplace-transformatie van beide zijden van de bovenstaande vergelijking te nemen, krijgen we,


In de bovenstaande uitdrukking zijn er twee tijdconstanten.

Voor de waarde van ζ die veel groter is dan één, kan de invloed van de snellere tijdconstante op de tijdsrespons worden genegeerd en komt de uiteindelijke tijdsresponsuitdrukking als volgt:

Figuur 6.4.5 van pagina 139 van het boek Automatische regelsystemen door Hasan.

Kritische demping tijdsrespons van regelsysteem

De tijdsresponsuitdrukking van een tweede orde regelsysteem onderworpen aan een eenheidstapinvoerfunctie is als volgt gegeven.

Het omgekeerde van de constante van de negatieve macht van de exponentiële term in het foutelement van het uitvoersignaal is eigenlijk verantwoordelijk voor de demping van de uitvoerrespons.

Hier in deze vergelijking is het ζωn. Het omgekeerde van de constante van de negatieve macht van de exponentiële term in het foutsignaal wordt de tijdconstante genoemd.

We hebben al vastgesteld dat wanneer de waarde van ζ (ook bekend als dempingsverhouding) kleiner is dan één, de oscillatie van de respons exponentieel afneemt met een tijdconstante 1/ζωn. Dit wordt ondergedempte respons genoemd.

Aan de andere kant, wanneer ζ groter is dan één, toont de respons van de eenheidstapinvoer die aan het systeem wordt gegeven, geen oscillerend deel.

Dit wordt overgedempte respons genoemd. We hebben ook de situatie onderzocht wanneer de dempingsverhouding één is, dat wil zeggen ζ = 1.

In die situatie wordt de demping van de respons beheerst door de natuurlijke frequentie ωn alleen. De daadwerkelijke demping in die conditie wordt kritische demping van de respons genoemd.