Pangutana sa Panahon sa Sistema sa Pagkontrol sa Ikalawang Order (Ginamit nga Halimbawa)

Ang order ng isang control system ay natukoy batay sa kapangyarihan ng ‘s’ sa denominator ng kanyang transfer function.

Kung ang kapangyarihan ng s sa denominator ng transfer function ng isang control system ay 2, ang sistema ay tinatawag na second order control system.

Ang pangkalahatang expression ng transfer function ng second order control system ay ibinibigay bilang

Dito, ζ at ωn ay ang damping ratio at natural frequency ng sistema, respectively (matutunan natin ang mga termino na ito sa detalye sa paglipas ng panahon).

Pagbabago ng formula sa itaas, ang output ng sistema ay ibinibigay bilang

Kung isasama natin ang unit step function bilang input ng sistema, ang output equation ng sistema ay maaaring isulat muli bilang

Kumuha ng inverse Laplace transform ng equation sa itaas, makukuha natin

Ang expression sa itaas ng output c(t) ay maaaring isulat muli bilang

Ang error ng signal ng response ay ibinibigay ng e(t) = r (t) – c(t), at kaya.

Sa expression sa itaas, malinaw na ang error ng signal ay may oscillation type na may exponentially decaying magnitude kung ζ < 1.

Ang frequency ng oscillation ay ωd at ang time constant ng exponential decay ay 1/ζωn.

Kung saan, ωd, ay tinatawag na damped frequency ng oscillation, at ωn ay natural frequency ng oscillation. Ang term na ζ ay nakakaapekto sa damping at kaya ang term na ito ay tinatawag na damping ratio.

May magkakaibang behavior ng output signal, depende sa value ng damping ratio at susuriin natin bawat isa ng isa.

Ginagamit natin ito bilang basehan, susuriin natin ang time response ng second order control system. Gagawin natin ito sa pamamagitan ng pag-analyze ng unit step response ng second order control system sa frequency domain, bago i-convert ito sa time domain.

Pangutana sa Response ng Second Order System

Kapag ang damping ratio ay zero, maaari nating isulat muli ang expression sa itaas ng output signal bilang

Tulad ng sa expression na ito, walang exponential term, ang time response ng control system ay un-damped para sa unit step input function na may zero damping ratio.

Page 137. Figure 6.4.3. ng libro na automatic control system ni Hasan.

Ngayon susuriin natin ang kaso kung ang damping ratio ay unity.



Sa expression na ito ng output signal, walang oscillating part sa subjective unit step function. At kaya ang time response ng second-order control system ay tinatawag na critically damped.

Ngayon susuriin natin ang time response ng second order control system subjective unit step input function kung ang damping ratio ay mas malaki sa isa.

Kumuha ng inverse Laplace transform ng parehong bahagi ng equation sa itaas, makukuha natin,


Sa expression sa itaas, may dalawang time constants.

Para sa value ng ζ na mas malaki sa isa, ang epekto ng mas mabilis na time constant sa time response ay maaaring i-neglect at ang time response expression finally comes as

Figure 6.4.5 ng page 139 ng libro na automatic control system ni Hasan.

Kritikal na Damping Time Response ng Control System

Ang time response expression ng second order control system subject sa unit step input function ay ibinibigay sa ibaba.

Ang reciprocal ng constant ng negative power ng exponential term sa error part ng output signal ay talagang responsable sa damping ng output response.

Dito sa equation na ito, ito ay ζωn. Ang reciprocal ng constant ng negative power ng exponential term sa error signal ay kilala bilang time constant.

Nagsalita na tayo na kapag ang value ng ζ (kilala rin bilang damping ratio) ay mas mababa sa unity, ang oscillation ng response ay nag-decay na exponential na may time constant 1/ζωn. Ito ang tinatawag na under damped response.

Sa kabilang banda, kapag ang ζ ay mas malaki sa unity, ang response ng unit step input na ibinigay sa sistema, hindi nagpapakita ng oscillating part sa kanya.

Ito ang tinatawag na over damped response. Nagsalita na rin tayo tungkol sa sitwasyon kung ang damping ratio ay unity na siya ay ζ = 1.

Sa sitwasyon na iyon, ang damping ng response ay pinangangasiwaan ng natural frequency ωn lamang. Ang aktwal na damping sa kondisyong iyon ay kilala bilang critical damping ng response.

Tulad ng narinig na natin sa kaugnay na expressions ng time response ng control system subject sa input step function, ang oscillation part ay naroroon sa response kung ang damping ratio (ζ) ay mas mababa sa isa at hindi ito naroroon sa response kung ang damping ratio ay equal sa isa.