Tidsrespons af andenordens styresystem (gennemregnede eksempler)

Rækkefølgen af et styresystem bestemmes af potensen af 's' i nævneren af dets overførselsfunktion.

Hvis potensen af s i nævneren af overførselsfunktionen for et styresystem er 2, kaldes systemet anden ordens styresystem.

Den generelle udtryk for overførselsfunktionen for et anden ordens styresystem er givet som

Her er ζ og ωn henholdsvis dempingforholdet og naturlige frekvensen for systemet (vi vil lære om disse to termer i detaljer senere).

Ved omskrivning af formlen ovenfor, er outputtet fra systemet givet som

Hvis vi betragter en enhedstrapfunktion som input til systemet, kan outputligningen for systemet omskrives som

Ved at tage den inverse Laplace-transform af ovenstående ligning, får vi

Ovenstående udtryk for output c(t) kan omskrives som

Fejlen i signalresponsen er givet ved e(t) = r (t) – c(t), og dermed.

Fra ovenstående udtryk er det klart, at fejlen i signalet er af oscillerende type med eksponentielt aftagende størrelse, når ζ < 1.

Frekvensen af oscillationen er ωd, og tidskonstanten for eksponentiel aftagelse er 1/ζωn.

Her er ωd, kendt som dempet frekvens for oscillationen, og ωn er naturlig frekvens for oscillationen. Termen ζ påvirker dempingen meget, og derfor kaldes denne term for dempeforholdet.

Der vil være forskellige adfærdsmønstre for outputsignalet, afhængigt af værdien af dempeforholdet, og lad os undersøge hvert af de tilfælde, én efter en.

Med dette som grundlag, vil vi analysere tidsresponsen for et anden ordens styresystem. Vi vil gøre dette ved at analysere enhedstrapresponsen for et anden ordens styresystem i frekvensdomænet, inden vi konverterer det til tidsdomænet.

Tidsrespons for anden ordens system

Når dempeforholdet er nul, kan vi omskrive ovenstående udtryk for outputsignal som

Da der i dette udtryk ikke er nogen eksponentiel term, er tidsresponsen for styresystemet udamperet for enhedstrapinputfunktion med nul dempeforhold.

Side 137. Figur 6.4.3. i bogen "Automatic Control System" af Hasan.

Lad os nu undersøge tilfældet, hvor dempeforholdet er lig med ét.



I dette udtryk for outputsignal er der ingen oscillerende del i subjektive enhedstrapfunktion. Derfor kaldes denne tidsrespons for anden ordens styresystem for kritisk damperet.

Nu vil vi undersøge tidsresponsen for et anden ordens styresystem med subjektiv enhedstrapinputfunktion, når dempeforholdet er større end ét.

Ved at tage den inverse Laplace-transform af begge sider af ovenstående ligning, får vi,


I ovenstående udtryk er der to tidskonstanter.

For værdien af ζ, der er betydeligt større end ét, kan effekten af den hurtigere tidskonstant på tidsresponsen ignoreres, og tidsresponsudtrykket kommer til sidst til at være

Figur 6.4.5 på side 139 i bogen "Automatic Control System" af Hasan.

Kritisk dempingstidsrespons for styresystem

Udtrykket for tidsresponsen for et anden ordens styresystem undergået en enhedstrapinputfunktion er givet nedenfor.

Konstanten for negativ potens i eksponentialtermen i fejlparten af outputsignal er faktisk ansvarlig for dempingen af outputresponsen.

Her i denne ligning er det ζωn. Konstanten for negativ potens i fejlsignal kaldes tidskonstant.

Vi har allerede set, at når værdien af ζ (også kendt som dempeforhold) er mindre end ét, afgas responsens oscillation eksponentielt med en tidskonstant 1/ζωn. Dette kaldes undertempert respons.

På den anden side, når ζ er større end ét, viser responsen på enhedstrapinputtet til systemet ikke noget oscillerende element i sig.

Dette kaldes overtampert respons. Vi har også undersøgt situationen, hvor dempeforholdet er lig med ét, altså ζ = 1.

I den situation styrer naturlig frekvens ωn kun dempingen af responsen. Den faktiske demping i denne situation kaldes kritisk demping af responsen.

Som vi allerede har set i de associerede udtryk for tidsresponsen for styresystemet undergået en inputtrapfunktion, er det oscillerende element til stede i responsen, når dempeforhold