การตอบสนองตามเวลาของระบบควบคุมอันดับที่สอง (ตัวอย่างการทำงาน)

ลำดับของระบบควบคุมถูกกำหนดโดยกำลังของ ‘s’ ในตัวส่วนของฟังก์ชันการถ่ายโอนของมัน

หากกำลังของ s ในตัวส่วนของฟังก์ชันการถ่ายโอนของระบบควบคุมเป็น 2 ระบบดังกล่าวจะเรียกว่า ระบบควบคุมอันดับที่สอง

การแสดงผลทั่วไปของฟังก์ชันการถ่ายโอนของระบบควบคุมอันดับที่สองได้รับการให้ไว้ดังนี้

ที่นี่ ζ และ ωn เป็นอัตราส่วนการยุบและความถี่ธรรมชาติของระบบ ตามลำดับ (เราจะศึกษาเกี่ยวกับสองคำนี้อย่างละเอียดในภายหลัง)

การจัดเรียงใหม่ของสูตรข้างต้น ผลลัพธ์ของระบบจะได้รับดังนี้

หากเราพิจารณาฟังก์ชันขั้นตอนหน่วยเป็นอินพุตของระบบ สมการผลลัพธ์ของระบบสามารถเขียนใหม่ได้ว่า

การแปลงลาปลาซผกผันของสมการข้างต้น เราจะได้

การแสดงผลของผลลัพธ์ c(t) สามารถเขียนใหม่ได้ว่า

ความคลาดเคลื่อนของสัญญาณของผลตอบสนองถูกกำหนดโดย e(t) = r (t) – c(t) และดังนั้น

จากการแสดงผลข้างต้น มันชัดเจนว่าความคลาดเคลื่อนของสัญญาณเป็นประเภทการแกว่งพร้อมขนาดที่ลดลงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลเมื่อ ζ < 1

ความถี่ของการแกว่งคือ ωd และค่าคงที่เวลาของการลดลงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลคือ 1/ζωn

ที่นี่ ωd ถูกเรียกว่าความถี่ที่ถูกยุบของการแกว่ง และ ωn คือความถี่ธรรมชาติของการแกว่ง คำว่า ζ ส่งผลกระทบต่อการยุบมากและดังนั้นคำนี้ถูกเรียกว่าอัตราส่วนการยุบ

จะมีพฤติกรรมที่แตกต่างกันของสัญญาณออก ขึ้นอยู่กับค่าของอัตราส่วนการยุบ และขอให้เราตรวจสอบแต่ละกรณี ทีละกรณี

ใช้สิ่งนี้เป็นฐาน เราจะวิเคราะห์การตอบสนองตามเวลาของระบบควบคุมอันดับที่สอง เราจะทำสิ่งนี้โดยวิเคราะห์การตอบสนองตามขั้นตอนหน่วยของระบบควบคุมอันดับที่สองในโดเมนความถี่ ก่อนที่จะแปลงมันเป็นโดเมนเวลา

การตอบสนองตามขั้นตอนของระบบอันดับที่สอง

เมื่ออัตราส่วนการยุบเป็นศูนย์ เราสามารถเขียนใหม่การแสดงผลของสัญญาณออกได้ว่า

เนื่องจากในการแสดงผลนี้ ไม่มีเทอมเอ็กซ์โพเนนเชียล การตอบสนองตามเวลาของระบบควบคุมจะไม่ถูกยุบสำหรับฟังก์ชันขั้นตอนหน่วยด้วยอัตราส่วนการยุบเป็นศูนย์

หน้า 137. รูปที่ 6.4.3. จากหนังสือระบบควบคุมอัตโนมัติโดย Hasan.

ตอนนี้ขอให้เราตรวจสอบกรณีเมื่ออัตราส่วนการยุบเป็นหนึ่ง.



ในการแสดงผลของสัญญาณออกนี้ ไม่มีส่วนการแกว่งในฟังก์ชันขั้นตอนหน่วย และดังนั้นการตอบสนองตามเวลาของระบบควบคุมอันดับที่สองนี้จะถูกเรียกว่าการยุบอย่างวิกฤต

ตอนนี้เราจะตรวจสอบการตอบสนองตามเวลาของระบบควบคุมอันดับที่สองสำหรับฟังก์ชันขั้นตอนหน่วยเมื่ออัตราส่วนการยุบมากกว่าหนึ่ง.

การแปลงลาปลาซผกผันทั้งสองข้างของสมการข้างต้น เราจะได้


ในการแสดงผลข้างต้น มีค่าคงที่เวลาสองค่า

สำหรับค่าของ ζ ที่มากกว่าหนึ่งอย่างมาก ผลกระทบของค่าคงที่เวลาที่เร็วบนการตอบสนองตามเวลาสามารถละเว้นได้และการแสดงผลการตอบสนองตามเวลาสุดท้ายจะเป็น

รูปที่ 6.4.5 หน้า 139 จากหนังสือระบบควบคุมอัตโนมัติโดย Hasan.

การตอบสนองตามเวลาจากการยุบอย่างวิกฤตของระบบควบคุม

การแสดงผลการตอบสนองตามเวลาของระบบควบคุมอันดับที่สองสำหรับฟังก์ชันขั้นตอนหน่วยได้รับการให้ไว้ดังนี้

ค่าผกผันของค่าคงที่ของกำลังลบของเทอมเอ็กซ์โพเนนเชียลในส่วนความคลาดเคลื่อนของสัญญาณออกจริงๆ แล้วเป็นผู้รับผิดชอบในการยุบของผลตอบสนอง

ที่นี่ในสมการนี้คือ ζωn ค่าผกผันของค่าคงที่ของกำลังลบของเทอมเอ็กซ์โพเนนเชียลในสัญญาณความคลาดเคลื่อนถูกเรียกว่าค่าคงที่เวลา

เราได้ตรวจสอบแล้วว่าเมื่อค่าของ ζ (หรือเรียกว่าอัตราส่วนการยุบ) น้อยกว่าหนึ่ง การแกว่งของผลตอบสนองจะลดลงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลพร้อมค่าคงที่เวลา 1/ζωn นี่เรียกว่าการตอบสนองที่ถูกยุบน้อยเกินไป

ทางตรงกันข้าม เมื่อ ζ มากกว่าหนึ่ง ผลตอบสนองของฟังก์ชันขั้นตอนหน่วยที่ให้กับระบบ จะไม่มีส่วนการแกว่งในนั้น