Másodrendű irányító rendszer időbeli válasza (munka példa)
Egy irányító rendszer rendje a s általános alakjának hatványának értékével van meghatározva annak átmeneti függvényének nevezőjében.
Ha az s hatványának értéke az átmeneti függvény nevezőjében 2, akkor a rendszert másodrendű irányító rendszerként jellemzik.
Egy másodrendű irányító rendszer átmeneti függvényének általános kifejezése a következőképpen adható meg
Itt ζ és ωn rendre a rendszer csillapítási arányát és természetes frekvenciáját jelentik (ezeket a két fogalmat részletesebben később ismertetjük).
A fenti képlet átrendezésével a rendszer kimenete a következőképpen adható meg
Ha egy egységugrás függvényt tekintünk a rendszer bemenetének, akkor a rendszer kimeneti egyenlete úgy írható fel, hogy
A fenti egyenlet Laplace-fordítása után a következőt kapjuk
A c(t) kimeneti kifejezés úgy írható fel, hogy
A válasz jelének hibája e(t) = r(t) – c(t) formában adható meg, és így.
A fenti kifejezésből látszik, hogy a jel hibája rezgő jellegű, exponenciálisan csökkenő nagyságú, ha ζ < 1.
A rezgések frekvenciája ωd, míg az exponenciális csökkenés ideje 1/ζωn.
Ahol ωd a rezgések csillapított frekvenciáját, ωn pedig a természetes frekvenciát jelöli. A ζ paraméter erősen befolyásolja a csillapítást, ezért ez a paraméter csillapítási aránynak nevezzük.
A kimeneti jel viselkedése különböző lesz attól függően, hogy a csillapítási arány milyen értéket vesz fel, és most vizsgáljuk mindegyik esetet sorban.
Ezt alapul véve elemzésünkkel a másodrendű irányító rendszer időbeli válaszát fogjuk elemezni. Ezt a másodrendű irányító rendszer egységugrás-válaszának időtartománybeli elemzésével kezdjük, mielőtt átfordítanánk a gyakoriságtartományba.
Másodrendű Rendszer Egységugrás-Válasza
Ha a csillapítási arány nulla, akkor a fenti kimeneti jel kifejezést úgy írhatjuk fel, hogy
Mivel ebben a kifejezésben nincs exponenciális tag, a vezérlő rendszer időbeli válasza nem csillapított, ha az egységugrás bemeneti függvény csillapítási aránya nulla.
Hasan könyve, Automatikus irányító rendszerek, 6.4.3. ábra, 137. oldal.
Most vizsgáljuk azt az esetet, amikor a csillapítási arány egységnyi.
Ebben a kimeneti jel kifejezésben nincs rezegő rész az egységugrás bemeneti függvényhez. Ezért ezt a másodrendű irányító rendszer időbeli válaszát kritikusan csillapítottnak nevezzük.
Most vizsgáljuk a másodrendű irányító rendszer időbeli válaszát, amikor a csillapítási arány nagyobb, mint egységnyi, az egységugrás bemeneti függvény esetén.
A fenti egyenlet mindkét oldalának Laplace-fordítását végrehajtva kapjuk, hogy
A fenti kifejezésben két időállandó található.
Amikor a ζ értéke jelentősen nagyobb, mint egységnyi, a gyorsabb időállandó hatása a válasz időbeli viselkedésére elhanyagolható, és a végső időbeli válasz kifejezés a következőképpen írható fel
Hasan könyve, Automatikus irányító rendszerek, 6.4.5. ábra, 139. oldal.
Kritikus Csillapítás Időbeli Válasza a Vezérlő Rendszerben
A másodrendű irányító rendszer időbeli válaszának kifejezése, amikor egységugrás bemeneti függvényt alkalmazunk, a következőképpen adható meg:
A hiba részben előforduló negatív exponenciális tag konstansának reciprokértéke valójában felelős a kimeneti válasz csillapításáért.
Ebben az egyenletben ez a ζωn. A hiba jellel kapcsolatos negatív exponenciális tag konstansának reciprokértékét időállandónak nevezzük.
Már vizsgáltuk, hogy ha a ζ (más néven csillapítási arány) értéke kisebb, mint egység, a válasz rezgései exponenciálisan csökkennek 1/ζωn időállandóval. Ezt alulcsillapított válasznak nevezzük.
Másrészről, ha ζ nagyobb, mint egység, a rendszer egységugrás bemeneti jelének válasza nem tartalmaz rezegő részt.
