Tugon ng Oras ng Ikalawang Order ng Sistema ng Pagkontrol (Halimbawa ng Ginagawa)

Ang order ng isang sistema ng pamamahala ay natutukoy sa pamamagitan ng kapangyarihan ng ‘s’ sa denominator ng kanyang transfer function.

Kung ang kapangyarihan ng s sa denominator ng transfer function ng isang sistema ng pamamahala ay 2, ang sistema ay tinatawag na ikalawang order na sistema ng pamamahala.

Ang pangkalahatang ekspresyon ng transfer function ng ikalawang order na sistema ng pamamahala ay ibinibigay bilang

Dito, ζ at ωn ay ang damping ratio at natural frequency ng sistema, ayon sa pagkakabanggit (matutunan natin ang mga termino na ito nang mas detalyado sa susunod).

Sa pag-ayos ng formula sa itaas, ang output ng sistema ay ibinibigay bilang

Kung isasama natin ang unit step function bilang input ng sistema, ang output equation ng sistema ay maaaring isulat muli bilang

Sa pagkuha ng inverse Laplace transform ng itaas na ekwasyon, makukuha natin

Ang itaas na ekspresyon ng output c(t) maaaring isulat muli bilang

Ang error ng signal ng response ay ibinibigay ng e(t) = r (t) – c(t), at kaya.

Sa itaas na ekspresyon, malinaw na ang error ng signal ay may uri ng oscillation na may exponentially decaying magnitude kapag ζ < 1.

Ang frequency ng oscillation ay ωd at ang time constant ng exponential decay ay 1/ζωn.

Kung saan, ωd, ay tinatawag na damped frequency ng oscillation, at ωn ay natural frequency ng oscillation. Ang term na ζ ay malaking nakakaapekto sa damping at kaya tinatawag itong damping ratio.

Mayroong magkaibang pag-uugali ng output signal, depende sa halaga ng damping ratio at tingnan natin bawat isa ng maayos.

Ginagamit natin ito bilang basehan upang analisin ang oras ng tugon ng ikalawang order na sistema ng pamamahala. Gagawin natin ito sa pamamagitan ng pagsusuri ng unit step response ng ikalawang order na sistema ng pamamahala sa frequency domain, bago ito i-convert sa oras na domain.

Pagsasagot ng Step ng Ikalawang Order na Sistema

Kapag ang damping ratio ay zero, maaari nating isulat muli ang itaas na ekspresyon ng output signal bilang

Tulad ng sa ekspresyon na ito, walang exponential term, ang oras ng tugon ng sistema ng pamamahala ay un-damped para sa unit step input function na may zero damping ratio.

Page 137. Figure 6.4.3. ng libro ng automatic control system ni Hasan.

Ngayon, tingnan natin ang kaso kung ang damping ratio ay unity.



Sa ekspresyon ng output signal, walang oscillating part sa subjective unit step function. At kaya ang oras ng tugon ng ikalawang order na sistema ng pamamahala ay tinatawag na critically damped.

Ngayon, susuriin natin ang oras ng tugon ng ikalawang order na sistema ng pamamahala sa subjective unit step input function kapag ang damping ratio ay mas mataas sa isa.

Sa pagkuha ng inverse Laplace transform ng parehong bahagi ng itaas na ekwasyon, makukuha natin,


Sa itaas na ekspresyon, may dalawang time constants.

Para sa halaga ng ζ na mas malaki kumpara sa isa, ang epekto ng mas mabilis na time constant sa oras ng tugon ay maaaring ipaglaban at ang ekspresyon ng oras ng tugon ay huling dumating bilang

Figure 6.4.5 ng page 139 ng libro ng automatic control system ni Hasan.

Kritikal na Damping na Oras ng Tugon ng Sistema ng Pamamahala

Ang ekspresyon ng oras ng tugon ng ikalawang order na sistema ng pamamahala sa unit step input function ay ibinibigay sa ibaba.

Ang reciprocal ng constant ng negative power ng exponential term sa error part ng output signal ang talagang responsable sa damping ng output response.

Dito sa ekwasyong ito, ito ay ζωn. Ang reciprocal ng constant ng negative power ng exponential term sa error signal ay kilala bilang time constant.

Nagawa na nating suriin na kapag ang halaga ng ζ (na kilala rin bilang damping ratio) ay mas mababa sa unity, ang oscillation ng tugon ay nagdedecay na exponentially na may time constant 1/ζωn. Ito ang tinatawag na under damped response.

Sa kabilang banda, kapag ang ζ ay mas malaki kaysa sa unity, ang tugon ng unit step input na ibinigay sa sistema, hindi nagpapakita ng oscillating part sa kanya.

Ito ang tinatawag na over damped response. Nagawa na rin nating suriin ang sitwasyon kung ang damping ratio ay unity, na siya'y ζ = 1.

Sa kondisyong ito, ang damping ng tugon ay pinamumunuan ng natural frequency ωn lamang. Ang aktwal na damping sa kondisyong ito ay kilala bilang critical damping ng tugon.