Réponse temporelle d'un système de commande du second ordre (exemple détaillé)
L'ordre d'un système de commande est déterminé par la puissance de ‘s’ dans le dénominateur de sa fonction de transfert.
Si la puissance de s dans le dénominateur de la fonction de transfert d'un système de commande est 2, alors le système est dit être un système de commande du second ordre.
L'expression générale de la fonction de transfert d'un système de commande du second ordre est donnée par
Ici, ζ et ωn sont respectivement le rapport d'amortissement et la fréquence naturelle du système (nous étudierons ces deux termes en détail plus tard).
En réarrangeant la formule ci-dessus, la sortie du système est donnée par
Si nous considérons une fonction échelon unitaire comme entrée du système, alors l'équation de sortie du système peut être réécrite comme suit
En prenant la transformée de Laplace inverse de l'équation ci-dessus, nous obtenons
L'expression ci-dessus de la sortie c(t) peut être réécrite comme suit
L'erreur du signal de la réponse est donnée par e(t) = r (t) – c(t), et donc.
D'après l'expression ci-dessus, il est clair que l'erreur du signal est de type oscillatoire avec une magnitude décroissant exponentiellement lorsque ζ < 1.
La fréquence des oscillations est ωd et la constante de temps de décroissance exponentielle est 1/ζωn.
Où, ωd, est appelée fréquence amortie des oscillations, et ωn est la fréquence naturelle des oscillations. Le terme ζ affecte beaucoup l'amortissement, c'est pourquoi ce terme est appelé rapport d'amortissement.
Il y aura différents comportements du signal de sortie, en fonction de la valeur du rapport d'amortissement, examinons chaque cas, un par un.
En utilisant cela comme base, nous analyserons la réponse temporelle d'un système de commande du second ordre. Nous le ferons en analysant la réponse à l'échelon unitaire d'un système de commande du second ordre dans le domaine fréquentiel, avant de la convertir en domaine temporel.
Réponse à l'échelon d'un système du second ordre
Lorsque le rapport d'amortissement est nul, nous pouvons réécrire l'expression ci-dessus du signal de sortie comme suit
Comme dans cette expression, il n'y a pas de terme exponentiel, la réponse temporelle du système de commande est non amortie pour une fonction d'entrée en échelon unitaire avec un rapport d'amortissement nul.
Page 137. Figure 6.4.3. du livre "Systèmes de commande automatique" par Hasan.
Examinons maintenant le cas où le rapport d'amortissement est égal à l'unité.
Dans cette expression du signal de sortie, il n'y a pas de partie oscillante dans la fonction d'échelon unitaire. Ainsi, cette réponse temporelle du système de commande du second ordre est qualifiée d'amortissement critique.
Nous allons maintenant examiner la réponse temporelle d'un système de commande du second ordre soumis à une fonction d'échelon unitaire lorsque le rapport d'amortissement est supérieur à un.
En prenant la transformée de Laplace inverse des deux côtés de l'équation ci-dessus, nous obtenons,
Dans l'expression ci-dessus, il y a deux constantes de temps.
Pour une valeur de ζ nettement supérieure à un, l'effet de la constante de temps plus rapide sur la réponse temporelle peut être négligé et l'expression de la réponse temporelle devient finalement
Figure 6.4.5 de la page 139 du livre "Systèmes de commande automatique" par Hasan.
Réponse temporelle d'amortissement critique d'un système de commande
L'expression de la réponse temporelle d'un système de commande du second ordre soumis à une fonction d'échelon unitaire est donnée ci-dessous.
L'inverse de la constante de la puissance négative de l'exponentielle dans la partie erreur du signal de sortie est en fait responsable de l'amortissement de la réponse de sortie.
Dans cette équation, c'est ζωn. L'inverse de la constante de la puissance négative de l'exponentielle dans le signal d'erreur est connu sous le nom de constante de temps.
Nous avons déjà examiné que lorsque la valeur de ζ (aussi connue sous le nom de rapport d'amortissement) est inférieure à l'unité, l'oscillation de la réponse décroît exponentiellement avec une constante de temps 1/ζωn. Cela est appelé réponse sous-amortie.
D'autre part, lorsque ζ est supérieur à l'unité, la réponse de l'entrée en échelon unitaire donnée au système ne présente pas de partie oscillante.
Cela est appelé réponse suramortie. Nous avons également examiné la situation lorsque le rapport d'amortissement est égal à l'unité, c'est-à-dire ζ = 1.
Dans cette situation, l'amortissement de la réponse est gouverné par la fréquence naturelle ωn seulement. L'amortissement effectif dans cette condition est connu sous le nom d'amortissement critique de la réponse.
