Tydreaksie van 'n Tweede-Orde Beheersisteem (Uitgewerkte Voorbeeld)

Die orde van 'n beheersisteem word bepaal deur die mag van ‘s’ in die noemer van sy oordragfunksie.

As die mag van s in die noemer van die oordragfunksie van 'n beheersisteem 2 is, dan word die stelsel beskou as 'n tweede orde beheersisteem.

Die algemene uitdrukking van die oordragfunksie van 'n tweede orde beheersisteem word gegee as

Hier, ζ en ωn is onderskeidelik die dempingverhouding en natuurlike frekwensie van die stelsel (ons sal hierdie twee terme later in detail leer).

Deur die formule bo te hersien, word die uitset van die stelsel gegee as

As ons 'n eenheidstrapfunksie as invoer van die stelsel oorweeg, dan kan die uitsetvergelyking van die stelsel herskryf word as

Deur die Laplace-transform van die vergelyking hierbo om te keer, kry ons

Die bo-uitdrukking van die uitset c(t) kan herskryf word as

Die fout van die sein van die reaksie word gegee deur e(t) = r (t) – c(t), en dus.

Uit die bo-uitdrukking is dit duidelik dat die fout van die sein van die trillingstipe met eksponensieel afnemende grootte is wanneer ζ < 1.

Die frekwensie van die trilling is ωd en die tydkonstante van eksponensiële aftakeling is 1/ζωn.

Waar, ωd, verwys na die gedempte frekwensie van die trilling, en ωn is die natuurlike frekwensie van die trilling. Die term ζ het 'n groot impak op die demping en daarom word hierdie term "dempingsverhouding" genoem.

Daar sal verskillende gedrag van die uitsetsein wees, afhangende van die waarde van die dempingsverhouding, en laat ons elkeen van die gevalle nagaan, een vir een.

Met hierdie as basis, gaan ons die tydreaksie van 'n tweede-orde beheersisteem analiseer. Ons gaan dit doen deur die eenheidstrapreaksie van 'n tweede-orde beheersisteem in die frekwensiedomein te analiseer, voordat ons dit in die tyddomein omskep.

Trede Reaksie van Tweede-Orde Stelsel

Wanneer die dempingsverhouding nul is, kan ons die bo-uitdrukking van die uitsetsein herskryf as

Aangesien daar in hierdie uitdrukking geen eksponensiële term is, is die tydreaksie van die beheersisteem ongedempt vir 'n eenheidstrap-invoerfunksie met nul dempingsverhouding.

Bladsy 137. Figuur 6.4.3. van die boek outomatiese beheersisteem deur Hasan.

Laat ons nou die geval nagaan wanneer die dempingsverhouding eenheid is.



In hierdie uitdrukking van die uitsetsein is daar geen trillende deel in die subjektiewe eenheidstrapfunksie. En dus word hierdie tydreaksie van die tweede-orde beheersisteem beskou as krities gedempt.

Ons gaan nou die tydreaksie van 'n tweede-orde beheersisteem subjektiewe eenheidstrap-invoerfunksie nagaan wanneer die dempingsverhouding groter is as een.

Deur die inverse Laplace-transform van albei kante van die bogenoemde vergelyking te neem, kry ons,


In die bo-uitdrukking is daar twee tydkonstantes.

Vir die waarde van ζ relatief baie groter as een, kan die effek van die vinniger tydkonstante op die tydreaksie verwaarloos word en die tydreaksie-uitdrukking kom uiteindelik as volg voor:

Figuur 6.4.5 van bladsy 139 van die boek outomatiese beheersisteem deur Hasan.

Kritiese Demping Tydreaksie van Beheersisteem

Die tydreaksie-uitdrukking van 'n tweede-orde beheersisteem onderworpe aan 'n eenheidstrap-invoerfunksie word hieronder gegee.

Die resiprook van die konstante van die negatiewe mag van die eksponensiële term in die foute deel van die uitsetsein is werklik verantwoordelik vir die demping van die uitsetreaksie.

Hier in hierdie vergelyking is dit ζωn. Die resiprook van die konstante van die negatiewe mag van die eksponensiële term in die fouteken is bekend as tydkonstante.

Ons het reeds ondersoek dat wanneer die waarde van ζ (ook bekend as dempingsverhouding) minder is as eenheid, die trilling van die reaksie eksponensieel aftakel met 'n tydkonstante 1/ζωn. Dit staan bekend as ondergedempte reaksie.

Aan die ander kant, wanneer ζ groter is as eenheid, toon die reaksie van die eenheidstrap-invoer wat aan die stelsel gegee is, nie 'n trillende deel in dit nie.

Dit staan bekend as oorgedempte reaksie. Ons het ook die situasie ondersoek wanneer die dempingsverhouding eenheid is, dit wil sê ζ = 1.

In daardie situasie word die demping van die reaksie geregieer deur die natuurlike frekwensie ω